Approfondimenti

Metodo di Chiò per il calcolo del determinante di una matrice

m_for_matthijs-abstract_sports_ii.jpgPer calcolare il determinante di una matrice c'è un metodo poco noto detto metodo di Chiò, dal nome del matematico Felice Chiò. Si riporta brevemente questo metodo, la sua giustificazione e un foglio Excel con le relative formule.
 

Il determinante di una matrice

determinante_chio1.gif

 è uguale a 

determinante_chio2.gif
sono tutti i minori orlati del 2° ordine di a11 ( a11 ≠0 e h, k≥2).

Dimostrazione 

determinante_chio3.gif 
si è divisa la 1° riga per a11

si sostituisce alla 2° riga la seguente combinazione lineare: somma della 2° riga con la 1° moltiplicata per -a21;

si sostituisce alla 3° riga la seguente combinazione lineare: somma della 3° riga con la 1° moltiplicata per –a31;

...................................................................................................................................................................

si sostituisce alla n° riga la seguente combinazione lineare: somma della n° riga con la 1° moltiplicata per –an1.

Si ottiene:

determinante_chio4.gif 

 

Si moltiplicano tutte le righe, tranne la 1°, per a11 e si ottiene:

determinante_chio5.gif

  Applicando Laplace si ha la tesi:

  determinante_chio6.gif
 

sono tutti i minori orlati del 2° ordine di a11 (ovviamente a11 deve essere ≠0 e h, k≥2.

 

Esempi di risoluzione

 

1

2

4

8

16

 

1

1

1

1

 

 

 

2

1

1

1

1

1

1

3

9

27

81

 

1

2

3

4

 

 

 

1

2

1

1

1

1

1

4

16

64

256

 

1

3

6

10

 

 

 

1

1

2

1

1

1

1

5

25

125

625

 

1

4

10

20

 

 

 

1

1

1

2

1

1

1

6

36

216

1296

 

 

1

2

3

 

 

 

1

1

1

1

2

1

 

1

5

19

65

 

 

2

5

9

 

 

 

1

1

1

1

1

2

 

2

12

56

240

 

 

3

9

19

 

 

 

 

3

1

1

1

1

 

3

21

117

609

 

 

 

1

3

 

 

 

 

1

3

1

1

1

 

4

32

208

1280

 

 

 

3

10

 

 

 

 

1

1

3

1

1

 

 

2

18

110

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

1

1

3

1

 

 

6

60

414

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

1

1

3

 

 

12

132

1020

 

determinante=

1

 

 

 

 

 

8

2

2

2

 

 

 

12

168

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

8

2

2

 

 

 

48

720

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

8

2

 

 

 

 

576

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

2

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

60

12

12

 

determinante=

288

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12

60

12

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12

12

60

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3456

576

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

576

3456

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11612160

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

determinante=

7

 

Con excel è possibile programmare in modo semplice il calcolo del determinante con questo metodo (vedi il file determinante con Chiò )

 


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Commenti   

 
0 #5 gerichievich 2013-11-19 22:57
Chi desiderasse ulteriori approfondimenti può consultare i seguenti
libri:
Felice Chiò, Mèmoire sur le fonction connues sous le nom de resultantes ou de determinants, Turin 1853 pag. 11
L.A.Pipes Matrix methods for engineering Prentice Hall 1963
DeRusso Roy Close: State variables for engineers Wiley 1965; quest'ultimo libro è scritto da autentici fuoriclasse per ingegneri, ma contiene un capitolo 4 sulle matrici e gli spazi lineari che i testi dedicati ai metematici si possono solo sognare.
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0 #4 gianfranco 2013-09-27 21:12
Vorrei fare una precisazione; questo metodo in verità può essere esteso ad un elemento qualsiasi della prima colonna; cioè nel caso che nella prima colonna ci siano elementi uguali a zero si può scegliere il primo diverso da zero, senza effettuare sostituzioni; ma questo pone che l'elemento di inizio procedura può essere un elemento qualsiasi della matrice.
Citazione
 
 
0 #3 Loreto Buttari 2008-04-27 12:51
Il matematico Chiò non è citato su nessun testo che mi sia passato fra le mani in 20 anni di insegnamento e nè se ne è fatto il nome nei vari corsi all'università. Complimenti e grazie.
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0 #2 Carla 2008-04-19 17:16
Davvero interessante! Lo farò presente ad un collega che insegna nel corso sperimentale PNI.
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0 #1 giusi 2008-04-16 08:50
a pensare che finora abbiamo calcolato determinanti su determinanti!ci vuole un pò di pratica ma è decisamente più rapido
Complimenti!
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