Algoritmo della radice quadrata, approssimazione per eccesso
Spieghiamo il metodo mediante un esempio di calcolo. Supponiamo di voler calcolare la radice quadrata di 2 senza però utilizzare una calcolatrice. Dobbiamo praticamente cercare un numero il cui quadrato faccia 2.Noi sappiamo già che il numero che stiamo cercando non è un numero intero ma è un numero reale compreso tra 1 e 2. Se effettuiamo i quadrati, abbiamo:
- [math]1^2=1 [/math]
- [math]2^2=4[/math]
Possiamo esprimere la radice quadrata di 2 come somma di 1 più
Dove
Ora eleviamo al quadrato i due membri della scrittura:
Al primo abbiamo esattamente 2, al secondo membro dobbiamo sviluppare la potenza del quadrato di binomio, ovvero abbiamo due quadrati e un doppio prodotto:
La quantità positiva
Consideriamo i seguenti numeri positivi minori di 1 e i loro quadrati:
- [math]0,1 \to 0,1^2=0,01=10^{-2}[/math]
- [math]0,01 \to 0,01^2=0,0001=10^{-4}[/math]
- [math]0,0001 \to 0,0001^2=0,00000001=10^{-8}[/math]
- [math]\varepsilon^2 \to 0[/math]
Abbiamo allora la seguente approssimazione:
Risolviamo rispetto ad
Abbiamo trovato un valore piccolo a piacere e positivo da sommare all'unità:
La nostra quantità compresa tra 1 e 2 è un numero decimale finito.
Facciamone il quadrato e vediamo quanto ci siamo avvicinati a 2:
Abbiamo ottenuto una quantità maggiore di 2 quindi 1,5 è un risultato approssimato ma non è abbastanza preciso questo significa che la quantità positiva
Come si procede?
Per ulteriori approfondimenti sui numeri radicali vedi qua
Secondo step, approssimazione per difetto
Si utilizza il valore 1,5 che abbiamo ottenuto e questa volta dobbiamo sottrarre una piccola quantità sempre positiva per cercare di riportare globalmente il numero più vicino al risultato esatto. Indichiamo la quantità positiva da sottrarre con la lettera greca
Eleviamo al quadrato i due membri e sviluppiamo il quadrato di binomio:
Per quando abbiamo detto sulle potenze di
Risolviamo rispetto a
Abbiamo trovato un valore piccolo a piacere e positivo da sottrarre alla quantità 1,5:
La nostra quantità è compresa tra 1,5 e 2 è un numero decimale periodico misto. Facciamone il quadrato e vediamo quanto ci siamo avvicinati a 2:
Ci siamo avvicinati di più al valore che restituisce la calcolatrice: 1,41666…
Il procedimento illustrato si potrebbe iterare nuovamente per ottenere risultati sempre più precisi.
Algoritmo per il calcolo della radice cubica
La procedura che è stata illustrata sopra per effettuare il calcolo della radice quadrata si può estendere anche al calcolo della radice cubica. si utilizzerà in questo caso come prodotto notevole lo sviluppo del cubo di binomio:
Volendo calcolare la radice cubica di 2 dobbiamo ancora una volta cercare un numero compreso tra 1 e 2 il cui cubo sia 2, poiche:
- [math]1^3=1[/math]
- [math]2^3=8[/math]
Dobbiamo trovare la quantità
Elevando al cubo:
Sviluppando il cubo di binomio:
Trascurando il termine di terzo grado si ottiene un'equazione di secondo grado algebrica, per la quale è possibile determinare le due radici:
A questo punto ignoriamo la soluzione negativa per le ipotesi fatte sulla quantità
La soluzione positiva vale:
Sommando ad 1 ed elevando al cubo si ottiene come valore 2,01805.
Ricerca tra i numeri razionali
Confrontando con il risultato della calcolatrice:La procedura di calcolo è stata iniziata con la ricerca del numero intero più vicino alla radice che si intendeva calcolare. Nei due esempi che sono stati riportati il procedimento è partito dal valore 1, che tra i numeri interi è quello più vicino alla radice, sia quadrata che cubica, del numero 2.
Se si vuole arrivare più velocemente al risultato con la precisione desiderata allora è conveniente individuare un valore che si avvicina il più possibile alla radice che vogliamo calcolare, cercando questo numero nell'insieme più ampio dei numeri razionali.
Ad esempio tra i valori seguenti:
- [math]1,3^2=1,69[/math]
- [math]1,4^2=1,96[/math]
- [math]1,5^2=2,25[/math]
facciamo lo stesso discorso per la radice cubica di 2, scriviamo alcuni razionali prossimi al valore esatto:
- [math]1,2^3=1,728[/math]
- [math]1,25^3=1,953125[/math]
- [math]1,3^2=2,197[/math]
Per ulteriori approfondimenti su numeri irrazionali vedi qua