Calcolare la radice cubica con il cubo di binomio

In questo appunto di matematica spieghiamo un metodo di calcolo della radice cubica e della radice quadrata che si base sullo sviluppo della potenza del binomio: il cubo e il quadrato di un binomio. Si tratta di un metodo iterativo. Vediamo l'esempio applicato al calcolo della radice quadrata e radice cubica del numero intero 2. La procedura può essere generalizzata per qualsiasi numero intero.

Algoritmo della radice quadrata, approssimazione per eccesso

Spieghiamo il metodo mediante un esempio di calcolo. Supponiamo di voler calcolare la radice quadrata di 2 senza però utilizzare una calcolatrice. Dobbiamo praticamente cercare un numero il cui quadrato faccia 2.
Noi sappiamo già che il numero che stiamo cercando non è un numero intero ma è un numero reale compreso tra 1 e 2. Se effettuiamo i quadrati, abbiamo:

• [math]1^2=1 [/math]
• [math]2^2=4[/math]

Il nostro numero, compreso tra 1 e 2, è la somma dell’unità più una piccola quantità che possiamo indicare con la lettera greca , questo significa che se estraiamo la radice quadrata di 2 dobbiamo ottenere il numero ipotizzato. Utilizziamo lo sviluppo del quadrato di un binomio:

Possiamo esprimere la radice quadrata di 2 come somma di 1 più

, in simboli:

Dove

è un numero positivo, sufficientemente piccolo e minore di 1.
Ora eleviamo al quadrato i due membri della scrittura:

Al primo abbiamo esattamente 2, al secondo membro dobbiamo sviluppare la potenza del quadrato di binomio, ovvero abbiamo due quadrati e un doppio prodotto:

La quantità positiva

è un numero molto minore di uno quindi possiamo anche trascurarlo perché questo non compromette l'accuratezza del calcolo. Spieghiamo questa approssimazione.
Consideriamo i seguenti numeri positivi minori di 1 e i loro quadrati:

• [math]0,1 \to 0,1^2=0,01=10^{-2}[/math]
• [math]0,01 \to 0,01^2=0,0001=10^{-4}[/math]
• [math]0,0001 \to 0,0001^2=0,00000001=10^{-8}[/math]
• [math]\varepsilon^2 \to 0[/math]

È evidente che quanto più è piccolo il valore di , il suo quadrato è ancora più piccolo e si avvicina a zero ecco perché possiamo trascurare questo termine nello sviluppo del quadrato di binomio.
Abbiamo allora la seguente approssimazione:

Risolviamo rispetto ad

:

Abbiamo trovato un valore piccolo a piacere e positivo da sommare all'unità:

La nostra quantità compresa tra 1 e 2 è un numero decimale finito.
Facciamone il quadrato e vediamo quanto ci siamo avvicinati a 2:

Abbiamo ottenuto una quantità maggiore di 2 quindi 1,5 è un risultato approssimato ma non è abbastanza preciso questo significa che la quantità positiva

che abbiamo utilizzato da aggiungere ad 1 è troppo grande, bisogna ripetere il procedimento.
Come si procede?
Per ulteriori approfondimenti sui numeri radicali vedi qua

Secondo step, approssimazione per difetto

Si utilizza il valore 1,5 che abbiamo ottenuto e questa volta dobbiamo sottrarre una piccola quantità sempre positiva per cercare di riportare globalmente il numero più vicino al risultato esatto. Indichiamo la quantità positiva da sottrarre con la lettera greca e ripetiamo il procedimento

Eleviamo al quadrato i due membri e sviluppiamo il quadrato di binomio:

Per quando abbiamo detto sulle potenze di

al paragrafo precedente, lo stesso vale per il termine , per cui il risultato è così approssimato:

Risolviamo rispetto a

:

Abbiamo trovato un valore piccolo a piacere e positivo da sottrarre alla quantità 1,5:

La nostra quantità è compresa tra 1,5 e 2 è un numero decimale periodico misto. Facciamone il quadrato e vediamo quanto ci siamo avvicinati a 2:

Ci siamo avvicinati di più al valore che restituisce la calcolatrice: 1,41666…
Il procedimento illustrato si potrebbe iterare nuovamente per ottenere risultati sempre più precisi.

Algoritmo per il calcolo della radice cubica

La procedura che è stata illustrata sopra per effettuare il calcolo della radice quadrata si può estendere anche al calcolo della radice cubica. si utilizzerà in questo caso come prodotto notevole lo sviluppo del cubo di binomio:

Volendo calcolare la radice cubica di 2 dobbiamo ancora una volta cercare un numero compreso tra 1 e 2 il cui cubo sia 2, poiche:

• [math]1^3=1[/math]
• [math]2^3=8[/math]

Dobbiamo trovare la quantità

positiva e minore di 1, tale che sommata all'unità e poi elevata alla terza potenza faccia 2:

Elevando al cubo:

Sviluppando il cubo di binomio:

Trascurando il termine di terzo grado si ottiene un'equazione di secondo grado algebrica, per la quale è possibile determinare le due radici:

A questo punto ignoriamo la soluzione negativa per le ipotesi fatte sulla quantità

.
La soluzione positiva vale:

Sommando ad 1 ed elevando al cubo si ottiene come valore 2,01805.

Ricerca tra i numeri razionali

Confrontando con il risultato della calcolatrice:
Abbiamo un valore soddisfacente della radice cubica di 2. In maniera del tutto equivalente a quanto fatto per il calcolo della radice quadrata, si può iterare il processo e trovare un risultato ancora più esatto per il valore approssimato dei numeri irrazionali.
La procedura di calcolo è stata iniziata con la ricerca del numero intero più vicino alla radice che si intendeva calcolare. Nei due esempi che sono stati riportati il procedimento è partito dal valore 1, che tra i numeri interi è quello più vicino alla radice, sia quadrata che cubica, del numero 2.
Se si vuole arrivare più velocemente al risultato con la precisione desiderata allora è conveniente individuare un valore che si avvicina il più possibile alla radice che vogliamo calcolare, cercando questo numero nell'insieme più ampio dei numeri razionali.
Ad esempio tra i valori seguenti:

• [math]1,3^2=1,69[/math]
• [math]1,4^2=1,96[/math]
• [math]1,5^2=2,25[/math]

Il numero 1,4 è quello che approssima piuttosto bene il valore della radice quadrata di due perciò si può utilizzare questo valore o un valore di poco superiore come valore iniziale invece dell'unità.
facciamo lo stesso discorso per la radice cubica di 2, scriviamo alcuni razionali prossimi al valore esatto:

• [math]1,2^3=1,728[/math]
• [math]1,25^3=1,953125[/math]
• [math]1,3^2=2,197[/math]

Il valore da cui iniziare la procedura di calcolo potrebbe essere il numero 1,25.
Per ulteriori approfondimenti su numeri irrazionali vedi qua