Matematicamente

IL COMPASSO E LA RIGA
Nel porre l'attenzione ai primi strumenti matematici (la riga e il compasso), ci imbattiamo in alcune "curiosità" che vogliamo mettere a fuoco. 
Come vediamo, nella figura 1 sono rappresentati 4 oggetti: una riga, un oggetto rotondo, un rettangolo con un grosso foro nel centro e un compasso. Viene spontaneo associare tra loro il compasso, l'oggetto rotondo e il rettangolo forato, lasciando da sola la riga, l'unica che non permette di disegnare circonferenze. Se invece riflettiamo un po' ci accorgiamo che l'unico strumento che deve stare isolato è il compasso dato che è l'unico che " non contiene in sé " l'oggetto da rappresentare.

(Fig. 1)

In altre parole: con la riga si può disegnare una retta perché " è già immagine di una retta "; con l'oggetto rotondo e col rettangolo forato possiamo disegnare una circonferenza perché " sono già immagini di circonferenze ".
Siamo di fronte quindi ad una sorta di circolo vizioso logico: per tracciare una retta bisogna già averne una (la riga) a disposizione! Per tracciare una circonferenza bisogna già averne una a disposizione (l'oggetto rotondo o il rettangolo forato)!
Il compasso, lo ribadiamo, " non contiene in sé " l'oggetto da rappresentare (la circonferenza).
La riga e il compasso sono quindi le prime macchine matematiche che prendiamo in considerazione.

DAL COMPASSO AL COMPASSO PERFETTO
Normalmente si pensa di usare un compasso con l'asta fissa verticale (perpendicolare cioè al piano del disegno). Vediamo invece come stanno le cose con una simulazione realizzata con CABRI.

Le animazioni ci permettono di ricostruire un compasso virtuale e di farlo funzionare come se fosse reale.
Come vediamo (animazione di sinistra), l'asta fissa non è verticale ma forma insieme a quella scrivente un triangolo isoscele. Il perno che viene retto durante la costruzione della circonferenza non ruota su se stesso ma compie anch'esso una circonferenza. E' questa disposizione che ci permette di disegnare (entro certi limiti) circonferenze di raggio "qualsiasi". Se invece l'asta fissa fosse perfettamente perpendicolare al piano del disegno, potremmo disegnare solo una determinata circonferenza. Per variare il raggio occorrerebbe che la punta scrivente si potesse allungare o accorciare, come vediamo nella simulazione di destra.