Matematicamente

Ho letto il libro dello Hardy (matematico che apprezzo molto). 
Devo rilevare che egli, almeno nel primo capitolo, non manca mai di specificare il tipo di convergenza in cui è da intendersi ogni uguaglianza. 
Ad esempio, prendiamo il trattamento riservato sul Divergent series alle sue (5), (5a) & (5b): esse si trovano nel capitolo 1, §1.5, pag. 12, formule (1.5.8) dell'edizione in mio possesso (tra l'altro, ma il dettaglio è marginale, l'editore del tomo del 1949 è la Oxford University/Clarendon Press, non la MacMillan come riportato in bibliografia; in proposito si può consultare il review presente all'epoca sul Bull.Amer.Math.Soc - reperibile qui: http://projecteuclid.org/DPubS/Repository/1.0/Disseminate?view=body&id=pdf_1&handle=euclid.bams/1183514926 -) ed è notevole il fatto che, subito dopo le formule, Hardy si prenda cura di specificare che esse sono "all (C,1)", ossia valide quando gli integrali impropri vengano intesi convergenti secondo Cesàro (la definizione di tale convergenza è data alla pag. 11, capoverso (1) a centropagina, del tomo in mio possesso). 
Sfogliando il primo capitolo del suddetto tomo si nota l'estrema attenzione con cui Hardy tratta i vari tipi di convergenza, proprio perchè essi sono *fondamentalmente* diversi dal tipo di convergenza classico (cioè quello secondo Riemann che si incontrava preparando il vecchio esame di Analisi I o II): per rendersi conto delle differenze basterebbe comparare le definizioni date dallo Hardy alla suddetta pag. 11 del summenzionato tomo, con quella classica riportata ad esempio sui testi del Ciliberto (vedo che lei ha studiato a Napoli, quindi mi pare giusto citare un allievo del Caccioppoli). 
 
Per quel che riguarda la formula (6), il problema che ne pregiudica la validità è il seguente: la funzione f(R):=exp(i R) ha modulo unitario (risulta |f(R)|=1 per R reale), pertanto non è possibile affermare che essa converga a zero in senso classico, in quanto risulterebbe violata la stessa definizione di limite. Pertanto o tale formula è completamente falsa; oppure il senso in cui è inteso il limite non è affatto quello usuale (cui i matematici sono abituati dal tempo di Cauchy). 
 
Pertanto, con la massima cortesia e con la più sincera stima per le sue ricerche, le rinnovo l'invito a rivedere almeno questi piccoli particolari del suo ultimo lavoro. 
 
 
P.S.: Credo che una persona dotta come lei possa fare a meno di usare il "principio di autorità" in una serena discussione tra appassionati di Matematica.

L'autore ringrazia vivamente il lettore, (di cui non si ha il piacere di conoscere il nome), per l'attenzione che gli riserva. 
Per quanto concerne le formule (5a) e (5b), l'autore ritiene che esse siano vere, nel senso che le stesse discendono direttamente dall'applicazione del primo teorema integrale di Cauchy; dall'applicazione dello stesso teorema discende anche la formula (6). 
Inoltre, le medesime formule (5a) e (5b) sono da ritenersi vere in quanto la loro applicazione consente di calcolare diversi integrali impropri. 
Del resto le formule (5a) e (5b) sono state fornite dal grande matematico inglese G. H. Hardy, nel testo n. 3, pag.12, richiamato dall'articolo. 
In merito alle altre osservazioni, l'autore fa presente che l'articolo è stato impostato, in maniera semplice e lineare, per consentire ai lettori meno esperti di recepire facilmente i procedimenti adottati ed i concetti espressi.

L\'autore farebbe meglio a specificare il senso delle relazioni (5a) e (5b), giacché esse in senso classico sono false; come pure è falsa in senso classico la relazione di limite (6) e ciò che da essa discende. Il rischio in cui si incorre è quello di confondere le idee ai lettori meno esperti. 
Tale osservazione vale per tutte le uguaglianze presenti nell\'articolo. 
 
In verità nelle ultime tre righe del lavoro si accenna una spiegazione dell\'arcano, però ciò è fatto senza dare riferimenti precisi (né di tipo bibliografico, né di tipo assertivo) ed in modo molto fumoso e sbrigativo. 
Consiglierei all\'autore, che pure ha già trattato alcuni tipi di convergenza degli integrali impropri in un altro articolo presente su questo sito, di premettere ai calcoli una breve introduzione in cui si illustrino i vari tipi di convergenza (Cesàro, Abel, Eulero,...) in cui sono da intendersi le formule numerate; inoltre accanto ad ogni formula dovrebbe essere sempre specificato il tipo di convergenza in cui è accertata la validità della stessa.