Matematicamente

Nel settimo libro dei suoi “Elementi”, il matematico greco Euclide (c. 325 – 265 a.C.) propose una semplice ed elegante dimostrazione dell’infinità dei numeri primi utilizzando il metodo della reductio ad absurdum. In tale dimostrazione suppone che l’insieme dei numeri primi sia finito:

$P={p_1, p_2, ..., p_t}$ 

e costruisce un nuovo numero naturale dato dal loro prodotto al quale viene sommato 1:

$N=p_1*p_2*...*p_t +1$ 

Per tale numero si possono presentare due possibilità:

1. $N$ è un numero primo maggiore di $p_t$ e quindi quest’ultimo non è il più grande di tutti i numeri primi;

2. $N$ non è un numero primo, ma è dato dal prodotto di numeri primi che non compaiono tra i $p_i \in P$, in quando il resto della divisione di $N$ per ciascun $p_i$ è uguale a 1.

La dimostrazione si basa quindi sulla scomposizione in fattori primi di un numero naturale ed è costruttiva. E’ stata tanto apprezzata per la sua bellezza al punto tale che il matematico Hardy, nella sua opera “Apologia di un matematico”, ne parla in questi termini:

«Enuncerò e dimostrerò due dei più famosi teoremi della matematica greca. Sono teoremi “semplici”, sia nell’idea che nell’esecuzione, tuttavia sono di primissimo ordine. Ciascuno di essi conserva la freschezza e l’importanza di quanto è stato scoperto: 2000 anni non vi hanno lasciato una ruga. Per di più enunciato e dimostrazione possono essere pienamente compresi in meno di un’ora da un lettore intelligente, per quanto scarso sia il suo bagaglio di cognizioni matematiche. Il primo è la dimostrazione fatta da Euclide dell’esistenza di un numero infinito di numeri primi.»

Leonhard Euler (1707-1783) ha dato, nel 1748, una dimostrazione dello stesso teorema in cui, utilizzando la serie armonica e osservando che essa si può scrivere come il prodotto delle serie di potenze dei numeri primi, perviene all’assurdo secondo il quale la serie armonica non diverge [1].

In una lettera scritta ad Eulero nel mese di luglio del 1730, il matematico tedesco Goldbach (1690-1764) presenta una dimostrazione del teorema, utilizzando i numeri primi di Fermat. Nel 2005 Filip Saidak proporrà una dimostrazione simile ma più semplice rispetto a quella di Goldbach [2].

Nel 1955 l’American Mathematical Monthly pubblicò l’articolo del matematico israeliano Fürstenberg in cui veniva riportata una dimostrazione topologica del teorema [3].

La dimostrazione di Euclide rimane comunque la più semplice e breve, per tale ragione viene spesso riproposta a scuola.

Aldo Scimone, docente di Matematica e Fisica presso il Liceo Pedagogico Sociale e delle Scienze Sociali “C. Finocchiaro Aprile” di Palermo, ha proposto una dimostrazione del teorema che si basa sulla non divisibilità di una particolare somma di numeri. Tale dimostrazione è stata pubblicata nella rivista “Teaching Mathematics and its Applications Advance Access” nel mese di Agosto 2008 e si ritiene di facile accesso per gli studenti della scuola secondaria superiore.

Teorema: Esistono infiniti numeri primi.

Dimostrazione: Supponiamo per assurdo che esistano solamente tre numeri primi:

$p_1, p_2, p_3$

Allora, per il teorema fondamentale dell'aritmetica, ogni numero naturale $T \ne p_k (k = 1, 2, 3)$ può essere fattorizzato nel prodotto dei primi considerati:

$T = p_1^axxp_2^bxxp_3^c (a,b,c in N)$

in modo che esso sia unicamente determinato dalla terna degli esponenti:

$(a, b, c) rarr T$

In questo modo per ogni terna di numeri naturali del tipo $(a, b, c)$ otteniamo dei numeri naturali divisibili per $p_1$, oppure per $p_2$, oppure per $p_3$.

Esiste una terna $(a', b', c')$ che ci permette di ottenere il numero $M = p_1xxp_2 + p_1xxp_3 + p_2xxp_3$? Se esistesse una tale terna, si avrebbe: $M = p_1xxp_2 + p_1xxp_3 + p_2xxp_3 = p_1^a'xxp_2^b'xxp_3^c'$ e quindi $M$ sarebbe divisibile per $p_1$, oppure per $p_2$, oppure per $p_3$. Questo è impossibile perché nell'espressione di $M$ non compaiono come fattori comuni $p_1$, oppure per $p_2$, oppure per $p_3$. Si possono quindi presentare due possibilità:

i. $M$ è un numero primo diverso dai tre considerati e quindi il teorema è dimostrato;

ii. $M$ non è primo e quindi è divisibile per un numero primo che sia diverso dai tre considerati, di conseguenza il teorema è dimostrato.

Il metodo utilizzato può essere esteso al caso in cui si considerano solo $n$, con $n>=3$, numeri primi $p_1, p_2,..., p_n$ e consideriamo la somma di tutti gli prodotti formati da $n-1$ dei numeri primi considerati.

Bibliografia e sitografia

[1] http://www.liceofoscarini.it/studenti/crittografia/mate/priminfiniti.html

[2] http://primes.utm.edu/notes/proofs/infinite/Saidak.html

[3] http://en.wikipedia.org/wiki/Furstenberg's_proof_of_the_infinitude_of_primes

[4] Aldo Scimone, A short and elementary proof of the infinitude of primes, Teaching Mathematics Applications, Advance Access published on August 30, 2008.

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