Le medie semplici
Dati n numeri[math]
x_1, x_2, x_3, …, x_n
[/math]
chiameremo la loro media quel numero che sostituito a ciascuno di essi lascia invariato il risultato di una prefissata operazione eseguita sui numeri stessi.
Le medie semplici possono essere:x_1, x_2, x_3, …, x_n
[/math]
- media aritmetica semplice;
- media geometrica semplice;
- media armonica semplice;
- media quadratica semplice.
[math]
x_1, x_2, x_3, …, x_n
[/math]
è quel numero x_1, x_2, x_3, …, x_n
[/math]
[math]
M_a
[/math]
che sostituito a ciascuno di essi lascia inalterata la loro somma.M_a
[/math]
Ossia quel numero M per il quale vale la seguente relazione:
[math]
x_1 + x_2 + x_3 + … + x_n = M_a + M_a + … + M_a
[/math]
(n volte)x_1 + x_2 + x_3 + … + x_n = M_a + M_a + … + M_a
[/math]
ossia
[math]
x_1 + x_2 + x_3 + … + x_n = n M_a.
[/math]
x_1 + x_2 + x_3 + … + x_n = n M_a.
[/math]
Quindi si ha che:
[math]
M_a = \frac{x_1 + x_2 + x_3 + … + x_n}{n}.
[/math]
M_a = \frac{x_1 + x_2 + x_3 + … + x_n}{n}.
[/math]
La media geometrica semplice di n numeri positivi
[math]
x_1, x_2, x_3, …, x_n
[/math]
è quel numero x_1, x_2, x_3, …, x_n
[/math]
[math]
M_g
[/math]
che sostituito a ciascuno di essi lascia inalterato il loro prodotto, ossia quel numero M_g
[/math]
[math]
M_g
[/math]
per il quale si ha:M_g
[/math]
[math]
(x_1) \cdot (x_2) \cdot (x_3) \cdot … \cdot (x_n) = M \cdot M \cdot … \cdot M
[/math]
(n volte)(x_1) \cdot (x_2) \cdot (x_3) \cdot … \cdot (x_n) = M \cdot M \cdot … \cdot M
[/math]
ossia
[math]
(x_1) \cdot (x_2) \cdot (x_3) \cdot … \cdot (x_n) = M^n
[/math]
(x_1) \cdot (x_2) \cdot (x_3) \cdot … \cdot (x_n) = M^n
[/math]
per cui si ha che:
[math]
M = \sqrt[n] {(x_1) \cdot (x_2) \cdot (x_3) \cdot … \cdot (x_n)}.
[/math]
M = \sqrt[n] {(x_1) \cdot (x_2) \cdot (x_3) \cdot … \cdot (x_n)}.
[/math]
La media armonica semplice di n numeri non nulli
[math]
x_1, x_2, x_3, …, x_n
[/math]
per i quali valga le seguente relazione:x_1, x_2, x_3, …, x_n
[/math]
[math]
\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_3} + … +\frac{1}{x_n} \neq 0
[/math]
\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_3} + … +\frac{1}{x_n} \neq 0
[/math]
è quel numero
[math]
M_{ar}
[/math]
che sostituito a ciascuno di essi ne lascia inalterata la somma dei reciproci, ossia quel numero M_{ar}
[/math]
[math]
M_{ar}
[/math]
per il quale si ha:M_{ar}
[/math]
[math]
\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_3} + … +\frac{1}{x_n} = \frac{1}{M_{ar}} + \frac{1}{ M_{ar}} + \frac{1}{ M_{ar}} + … +\frac{1}{ M_{ar}}
[/math]
(con n addendi)\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_3} + … +\frac{1}{x_n} = \frac{1}{M_{ar}} + \frac{1}{ M_{ar}} + \frac{1}{ M_{ar}} + … +\frac{1}{ M_{ar}}
[/math]
ossia
[math]
\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_3} + … +\frac{1}{x_n} = \frac{n}{M_{ar}}
[/math]
\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_3} + … +\frac{1}{x_n} = \frac{n}{M_{ar}}
[/math]
e quindi
[math]
M_{ar} = \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_3} + … +\frac{1}{x_n}}.
[/math]
M_{ar} = \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_3} + … +\frac{1}{x_n}}.
[/math]
La media quadratica semplice di n numeri
[math]
x_1, x_2, x_3, …, x_n
[/math]
è quel numero x_1, x_2, x_3, …, x_n
[/math]
[math]
M_q
[/math]
che sostituito a ciascuno di essi lascia invariata la somma dei loro quadrati, quindi quel numero M_q
[/math]
[math]
M_q
[/math]
che soddisfa la relazione:M_q
[/math]
[math]
(x_1)^2 + (x_2)^2 + (x_3)^2 + … + (x_n)^2 = (M_q)^2 + (M_q)^2 + (M_q)^2 + … + (M_q)^2
[/math]
(con n addendi)(x_1)^2 + (x_2)^2 + (x_3)^2 + … + (x_n)^2 = (M_q)^2 + (M_q)^2 + (M_q)^2 + … + (M_q)^2
[/math]
ossia
[math]
(x_1)^2 + (x_2)^2 + (x_3)^2 + … + (x_n)^2 = n(M_q)^2
[/math]
(x_1)^2 + (x_2)^2 + (x_3)^2 + … + (x_n)^2 = n(M_q)^2
[/math]
dalla quale si ricava:
[math]
M_q = \sqrt{\frac{(x_1)^2 + (x_2)^2 + (x_3)^2 + … + (x_n)^2 }{n}}.
[/math]
M_q = \sqrt{\frac{(x_1)^2 + (x_2)^2 + (x_3)^2 + … + (x_n)^2 }{n}}.
[/math]
Le medie ponderate
Si hanno i seguenti tipi di medie ponderate:- media aritmetica ponderata;
- media geometrica ponderata;
- media armonica ponderata;
- media quadratica ponderata
La media aritmetica ponderata di n numeri
[math]
x_1, x_2, x_3, …, x_n
[/math]
i cui rispettivi pesi o frequenze sono x_1, x_2, x_3, …, x_n
[/math]
[math]
p_1, p_2, p_3, …, p_n
[/math]
è quel numero p_1, p_2, p_3, …, p_n
[/math]
[math]
M_{ap}
[/math]
che sostituito a tutti gli M_{ap}
[/math]
[math]
x_i
[/math]
lascia inalterato il valore della seguente espressione:x_i
[/math]
[math]
x_1 p_1 + x_2 p_2 + x_3 p_3 + … + x_n p_n.
[/math]
x_1 p_1 + x_2 p_2 + x_3 p_3 + … + x_n p_n.
[/math]
Per cui si ha che
[math]
M_{ap} = \frac{ x_1 p_1 + x_2 p_2 + x_3 p_3 + … + x_n p_n }{p_1 + … + p_n}.
[/math]
M_{ap} = \frac{ x_1 p_1 + x_2 p_2 + x_3 p_3 + … + x_n p_n }{p_1 + … + p_n}.
[/math]
La media geometrica ponderata di n numeri
[math]
x_1, x_2, x_3, …, x_n
[/math]
i cui rispettivi pesi o frequenze sono x_1, x_2, x_3, …, x_n
[/math]
[math]
p_1, p_2, p_3, …, p_n
[/math]
, con p_1, p_2, p_3, …, p_n
[/math]
[math]
x_i
[/math]
> 0, è quel numero x_i
[/math]
[math]
M_{gp}
[/math]
che sostituito a tutti gli M_{gp}
[/math]
[math]
x_i
[/math]
lascia inalterato il valore della seguente espressione:x_i
[/math]
[math]
(x_1)^{p_1} \cdot (x_2)^{p_2} \cdot (x_3)^{p_3} \cdot … \cdot (x_n)^{p_n}.
[/math]
(x_1)^{p_1} \cdot (x_2)^{p_2} \cdot (x_3)^{p_3} \cdot … \cdot (x_n)^{p_n}.
[/math]
Per cui si ha che:
[math]
M_{gp} = ((x_1)^{p_1} \cdot (x_2)^{p_2} \cdot(x_3)^{p_3} \cdot… \cdot(x_n)^{p_n})^{\frac{1}{p}}
[/math]
M_{gp} = ((x_1)^{p_1} \cdot (x_2)^{p_2} \cdot(x_3)^{p_3} \cdot… \cdot(x_n)^{p_n})^{\frac{1}{p}}
[/math]
La media armonica ponderata di n numeri
[math]
x_1, x_2, x_3, …, x_n
[/math]
i cui rispettivi pesi o frequenze sono x_1, x_2, x_3, …, x_n
[/math]
[math]
p_1, p_2, p_3, …, p_n
[/math]
, con p_1, p_2, p_3, …, p_n
[/math]
[math]
x_i \neq 0
[/math]
, è quel numero x_i \neq 0
[/math]
[math]
M_{arp}
[/math]
che sostituito a tutti gli M_{arp}
[/math]
[math]
x_i
[/math]
lascia inalterato il valore della seguente espressione:x_i
[/math]
[math]
p_1 \frac{1}{x_1} + p_2 \frac{1}{x_2} + p_3 \frac{1}{x_3} + … + p_n \frac{1}{x_n}
[/math]
p_1 \frac{1}{x_1} + p_2 \frac{1}{x_2} + p_3 \frac{1}{x_3} + … + p_n \frac{1}{x_n}
[/math]
che si suppone non nullo.
Per cui si ha che:
[math]
M_{arp} = \frac{p_1 + … +p_n}{\frac{p_1}{x_1} + \frac{p_2}{x_2} + \frac{p_3}{x_3} + … + \frac{p_n}{x_n}}.
[/math]
M_{arp} = \frac{p_1 + … +p_n}{\frac{p_1}{x_1} + \frac{p_2}{x_2} + \frac{p_3}{x_3} + … + \frac{p_n}{x_n}}.
[/math]
La media quadratica ponderata di n numeri
[math]
x_1, x_2, x_3, …, x_n
[/math]
i cui rispettivi pesi o frequenze sono x_1, x_2, x_3, …, x_n
[/math]
[math]
p_1, p_2, p_3, …, p_n
[/math]
, con p_1, p_2, p_3, …, p_n
[/math]
[math]
x_i \neq 0
[/math]
, è quel numero x_i \neq 0
[/math]
[math]
M_{qp}
[/math]
che sostituito a tutti gli M_{qp}
[/math]
[math]
x_i
[/math]
lascia inalterato il valore della seguente espressione:x_i
[/math]
[math]
(x_1)^2 p_1 + (x_2)^2 p_2 + (x_3)^2 p_3 + … + (x_n)^2 p_n.
[/math]
(x_1)^2 p_1 + (x_2)^2 p_2 + (x_3)^2 p_3 + … + (x_n)^2 p_n.
[/math]
per cui si ha che:
[/math]
M_{qp} = \sqrt{\frac{(x_1)^2 p_1 + (x_2)^2 p_2 + (x_3)^2 p_3 + … + (x_n)^2 p_n}{p_1 + … + p_n}}.
[/math]
Interpretazione geometrica delle medie
Si faccia riferimento alla figura riportata nel file allegato.Dati due numeri x > y > 0, tracciamo i segmenti adiacenti AH = x e HB = y e, indicato con O il punto medio di AB, consideriamo la semicirconferenza di centro O e raggio OA.
E’ chiaro che la media aritmetica è uguale al raggio della semicirconferenza. In particolare, indicato con C l’intersezione della semicirconferenza con la retta passante per H e perpendicolare ad AB, si ha
[math]
OC = \frac{x + y}{2}.
[/math]
OC = \frac{x + y}{2}.
[/math]
La media geometrica è uguale alla lunghezza del segmento CH; dimostriamolo:
[math]
CH = \sqrt{(OC)^2 – (OH)^2} =
[/math]
CH = \sqrt{(OC)^2 – (OH)^2} =
[/math]
[math]
= \sqrt{\big(\frac{x + y}{2}\big)^2 - \big(\frac{x + y}{2} - y\big)^2} =
[/math]
= \sqrt{\big(\frac{x + y}{2}\big)^2 - \big(\frac{x + y}{2} - y\big)^2} =
[/math]
[math]
= \sqrt{\big(\frac{x + y}{2}\big)^2 - \big(\frac{x - y}{2}\big)^2} =
[/math]
= \sqrt{\big(\frac{x + y}{2}\big)^2 - \big(\frac{x - y}{2}\big)^2} =
[/math]
[math]
= \sqrt{xy};
[/math]
= \sqrt{xy};
[/math]
osserviamo che si ritrova lo stesso risultato analizzando la similitudine dei triangoli AHC e CHB:
[math]
\frac{AH}{CH} = \frac{CH}{BH}
[/math]
\frac{AH}{CH} = \frac{CH}{BH}
[/math]
quindi
[math]
(CH)^2 = AH \cdot BH
[/math]
(CH)^2 = AH \cdot BH
[/math]
da cui
[math]
CH = \sqrt{AH \cdot BH} = \sqrt{xy}.
[/math]
CH = \sqrt{AH \cdot BH} = \sqrt{xy}.
[/math]
Indicato con K l’intersezione del raggio OC con la retta passante per H e perpendicolare a OC, la media armonica è uguale alla lunghezza del segmento KC: infatti, dalla similitudine dei triangoli rettangoli CKH e CHO abbiamo:
[math]
\frac{KC}{CH} = \frac{CH}{OC}
[/math]
\frac{KC}{CH} = \frac{CH}{OC}
[/math]
quindi
(
[math]
KC)^2 = \frac{(CH)^2}{OC} = \frac{(\sqrt{xy})^2}{\frac{x + y}{2}}
[/math]
KC)^2 = \frac{(CH)^2}{OC} = \frac{(\sqrt{xy})^2}{\frac{x + y}{2}}
[/math]
da cui
[math]
KC = \frac{2xy }{x + y}.
[/math]
KC = \frac{2xy }{x + y}.
[/math]
Indicato con Q l’intersezione della semicirconferenza con la retta per O e perpendicolare al
diametro AB, la media quadratica è uguale alla lunghezza del segmento QH:
[math]
QH = \sqrt{(OQ)^2 + (OH)^2} =
[/math]
QH = \sqrt{(OQ)^2 + (OH)^2} =
[/math]
[math]
= \sqrt{\big(\frac{x + y}{2}\big)^2 + \big(\frac{x + y}{2} - y\big)^2} =
[/math]
= \sqrt{\big(\frac{x + y}{2}\big)^2 + \big(\frac{x + y}{2} - y\big)^2} =
[/math]
[math]
= \sqrt{\big(\frac{x + y}{2}\big)^2 + \big(\frac{x - y}{2}\big)^2} =
[/math]
= \sqrt{\big(\frac{x + y}{2}\big)^2 + \big(\frac{x - y}{2}\big)^2} =
[/math]
[math]
= \sqrt{\frac{x^2 + y^2}{2}}.
[/math]
= \sqrt{\frac{x^2 + y^2}{2}}.
[/math]
Si osservi che risulta QH > OC > CH > KC, in accordo con le note disuguaglianze:
media quadratica > media aritmetica > media geometrica > media armonica .
