"Chi di noi non solleverebbe volentieri il velo dietro cui si nasconde il futuro per gettare uno sguardo sui principali progressi della nostra scienza e i segreti del suo sviluppo nei secoli a venire!" esclamò Hilbert, iniziando la sua conferenza che presentò l'8 agosto 1900 a Parigi intervenendo al secondo Congresso Internazionale dei Matematici. "E' innegabile il grande significato di determinati problemi per il progresso della scienza matematica in generale e il ruolo importante che essi giocano nel lavoro del singolo ricercatore" David Hilbert (1862-1943).
Un matematico francese ha detto una volta che una teoria matematica non si può considerare completa finché non sia stata resa chiara al punto da poter essere spiegata al primo che passa per strada. Lo stesso si può dire di un buon problema matematico: semplice da enunciarsi e tuttavia intrigante, difficile ma non del tutto inabbordabile. L'insuccesso nell'affrontare un problema dipende spesso "dalla nostra incapacità di riconoscere il punto di vista più generale dal quale il problema che abbiamo di fronte ci appare come un singolo anello in una catena di problemi collegati fra loro". Trovato il giusto livello di generalità, non solo il problema si rivela più accessibile ma spesso troviamo anche i metodi adatti a risolvere problemi ad esso collegati. L'illimitata fiducia nelle capacità della ragione umana portava Hilbert a enunciare una sorta di "legge generale" del nostro pensiero, a stabilire come un assioma che qualunque problema matematico doveva essere suscettibile di soluzione. "In Matematica non c'è alcun Ignorabimus!" affermava troppo ottimisticamente Hilbert.
Poincaré, francese intuizionista, e Hilbert, prussiano formalista, sono probabilmente i più grandi matematici degli ultimi due secoli, ma mentre il primo apparteneva forse più al XIX secolo Hilbert era indubbiamente più a suo agio nel XX secolo, sopratutto per l'importanza da lui data all'idea di struttura. Per Hilbert, l'ultimo teorema di Fermat, nell'insieme dei grandi problemi matematici, si situava al polo opposto del problema dei tre corpi, che aveva portato Poincaré alla scoperta di "metodi fecondi e principi di grande portata... Il primo libera creazione della pura ragione; il secondo, proposto dagli astronomi, è indispensabile per la conoscenza dei più semplici fenomeni fondamentali della natura". Come quello dei tre corpi, anche i primi e più antichi problemi matematici - osservava Hilbert - "traggono certamente la loro origine dall'esperienza e sono ispirati dal mondo dei fenomeni esterni". 
Così era stato per le operazioni del contare o i problemi classici della Geometria, la duplicazione del cubo o la quadratura del cerchio.
Tuttavia, "nel progressivo sviluppo di una disciplina matematica lo spirito umano incoraggiato dal successo delle soluzioni, prende coscienza della sua autonomia e crea lui stesso nuovi e fecondi problemi, nella maniera più felice, spesso senza apparenti stimoli esterni, unicamente per combinazione logica, per generalizzazione e specializzazione, per separazione e riunione dei concetti". Così erano sorti il problema della distribuzione dei numeri primi, la teoria di Galois delle equazione algebriche, ecc. Il testo della conferenza di Parigi fa giustizia dell'immagine caricaturale che spesso si dà della concezione matematica di Hilbert, ridotta ad un puro gioco formale con simboli senza significato.
Hilbert attribuiva un ruolo decisivo alle dimostrazioni di non contraddittorietà come criterio di esistenza degli oggetti matematici. "Se assiomi arbitrariamente stabiliti non sono in contraddizione, con tutte le conseguenze, allora essi sono veri, allora esistono gli enti definiti per mezzo di quegli assiomi. Questo è per me il criterio della verità e dell'esistenza. [...] Se a un concetto sono assegnati attributi contraddittori, dico che quel concetto non esiste".
Sul modello delle ricerche sui principi dell'Aritmetica e della Geometria, Hilbert esortava a "trattare assiomaticamente le branche della Fisica (il suo 6° problema) dove la Matematica gioca al giorno d'oggi un ruolo preponderante". Egli aveva in mente i ragionamenti probabilistici introdotti da Clausius e Boltzmann nella teoria cinetica dei gas, e le ricerche sui principi della Meccanica di Mach e dello stesso Boltzmann. Il lavoro del suo allievo J.von Neumann si può annoverare tra i frutti più significativi ottenuti nello spirito del 6° problema tuttavia il vasto progetto di Hilbert di assiomatizzazione della fisica non ebbe mai un compiuto successo. Per quanto riguarda invece la teoria della probabilità, l'assiomatizzazione auspicata da Hilbert prese forma nella scuola russa di Kolmogorov, nel contesto della moderna teoria della misura.
U. Bottazzini, "I Problemi di Hilbert: un progetto di ricerca per le generazioni future", in Lettera matematica Pristem N°50-51: Grandi matematici del Novecento, Springer 2004
