Tesi di laurea: ingegneria elettrica

costa-tesi.jpgApplicazione delle trasformazioni di Schwarz-Christoffel per la progettazione assistita dal calcolatore di dispositivi elettromeccanici. Tesi di laurea Ingegneria, Dipartimento di Ingegneria Elettrica.

Introduzione

La trasformazione di Schwarz-Christoffel (basata sull’omonima formula ricavata in modo indipendente dai due matematici tedeschi attorno al 1860), e, in generale, il metodo della trasformazione conforme, sono stati per un lungo periodo un capitolo molto importante dell’analisi complessa, con svariate applicazione nei campi della fisica e della matematica.

Uno dei maggiori pregi è senza dubbio la possibilità di fornire, quando possibile, la soluzione analitica ad un problema di campo elettrico o magnetico in domini per lo più aperti, insieme alla possibilità di studiare come cambi questa soluzione al variare dei parametri che figurano nel problema.

Sfogliando però i testi disponibili in letteratura ci si rende subito conto di come una soluzione analitica sia estremamente difficile da ottenere in casi significativi per le applicazioni, anche se semplici: ci si imbatte immediatamente in pagine piene di calcoli lunghi e complicati, in cui compaiono integrali ellittici ed iperellittici, e loro espressioni in termini di funzioni ellittiche di Jacobi, riduzioni ad integrali di Legendre o sviluppi in serie degli integrandi.

Queste difficoltà, assieme all’impossibilità di gestire un’ampia casistica di condizioni al contorno per i problemi, hanno portato al progressivo abbandono del metodo nel corso degli anni ’70, soppiantato dall’introduzione del calcolatore e dagli emergenti metodi delle differenze finite (FDM) e degli elementi finiti (FEM), che hanno spostato (con successo) su un piano puramente numerico il modo di affrontare certi problemi: in particolare, il potente e versatile FEM è stato accuratamente ottimizzato per l’esecuzione su calcolatore, e viene oggi utilizzato, in tutte le sue varianti, per le simulazioni in quasi tutti i campi dell’ingegneria, dall’analisi elettromagnetica a quella meccanica, fino alla conduzione del calore.

La disponibilità di una grande potenza di calcolo, oltre ad essere impiegata per metodi già noti (si pensi ad esempio al tensore degli sforzi di Maxwell), ha determinato la comparsa di altri sofisticati strumenti di analisi fino a pochi anni fa impensabili in pratica per la mole di operazioni che richiedono, fra cui le reti neurali (NNM), le reti di riluttanze (RNM) e gli algoritmi genetici (GA): queste tecniche, utilizzate singolarmente o associate, consentono un’accurata ottimizzazione dei parametri caratterizzanti un sistema, migliorandone notevolmente le prestazioni.

Queste metodologie presentano tuttavia dei costi di implementazione in termini di tempo, talvolta indubbiamente onerosi: anche utilizzando un hardware di ultima generazione, la verifica di un’idea di progettazione e la relativa ottimizzazione può richiedere giorni interi di calcolo. Si presenta quindi la necessità di disporre di tecniche che, senza pretendere di ottenere risultati estremamente accurati, consentano di verificare rapidamente la validità di un progetto, magari avvicinandosi ad un punto di ottimo, per poi condurre un’analisi più ”fine” con altri strumenti.

Nel corso degli anni la trasformazione di Schwarz-Christoffel non è stata del tutto abbandonata: si è però preferito indirizzare gli sforzi ad un approccio numerico, in modo da affrontare problemi analiticamente intrattabili, e ciò ha determinato la comparsa di un certo numero di pacchetti software destinati a questo scopo. Sulla scia del successo di questi ultimi, e nel tentativo di venire a capo di difficoltà di natura numerica incontrate in questa prima fase, la ricerca si è reindirizzata sulle proprietà algebriche e geometriche della trasformazione, giungendo a produrre algoritmi (ancora oggi in fase di studio ed approfondimento) che permettono di trattare problemi fino a poco tempo fa ritenuti inadatti o addirittura impossibili per un tipo di metodo che – precisiamolo – è di natura squisitamente geometrica.

Questo lavoro di Tesi sfrutta lo stato di conoscenza attuale sulle trasformazioni di Schwarz- Christoffel per cercare di capire se possano in qualche modo essere uno strumento di progettazione utile, e quindi venire incontro alle esigenze sopra discusse. Fermi restando certi limiti intrinseci nel metodo (come ad esempio la difficoltà di gestire le condizioni al contorno nei casi più generali), ci si chiede se si possa oggi impostare per mezzo di esso un’analisi che abbia insieme le caratteristiche dell’affidabilità e della velocità, rimandando ad altri strumenti la ricerca dell’accuratezza.

A tal fine nel corso dei capitoli vengono affrontati due problemi:

il primo, molto semplice, riguarda la forma che dovrebbero avere le armature di un condensatore piano per mantenere il campo elettrico il più uniforme possibile fra esse; un algoritmo di ottimazione sfrutta la trasformazione di Schwarz-Christoffel per minimizzare l’errore commesso.

Il secondo problema, a cui sono dedicati gli ultimi due capitoli, per affrontare il quale vengono utilizzati i più moderni algoritmi di calcolo della trasformazione, si presenta in tutte le macchine rotanti a magneti permanenti: la coppia parassita d’impuntamento.

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