Trasformazioni geometriche e proprietà invarianti: i “punti di vista” di Klein e di von Staudt

a) in un qualunque piano proiettivo P, esiste almeno una proiettività tra

due rette che trasforma una terna ordinata di punti distinti della

prima in una terna ordinata di punti distinti della seconda;

b) si ha l’unicità se e solo se P è il piano proiettivo su un campo.

Per “punto di vista di von Staudt” si intende, propriamente, lo studio dei

legami tra le proprietà di un piano proiettivo P e le proprietà del gruppo

delle proiettività su una retta di P. In modo esteso, il termine è stato usato

per strutture di incidenza diverse dai piani proiettivi. Con un’estensione

ulteriore, e forse eccessiva, nella tesi useremo il termine anche nel senso

indicato nel capoverso precedente.

Più in particolare, il contenuto della tesi è il seguente.

I primi due capitoli riguardano il “programma di Erlangen” del Klein. Si

tratta di un argomento che si trova spesso esposto nei testi universitari;

pertanto, non si è voluto darne una trattazione completa e si è preferito

portare l’attenzione su due gruppi di trasformazioni degli spazi euclidei,

meno frequentemente citati: il gruppo delle applicazioni bilipschitziane e il

gruppo delle trasformazioni cremoniane intere. Entrambi contengono, come

sottogruppo, il gruppo delle affinità.

Di conseguenza si inizia l’esposizione, nel primo capitolo, analizzando

alcune proprietà invarianti rispetto al gruppo delle affinità, con particolare

attenzione alla proprietà che lega la misura di Lebesgue di un insieme alla

suddetta collezione.

In seguito, dopo alcuni richiami sulle applicazioni lipschitziane, si introduce

la famiglia delle applicazioni bilipschitziane e si studia l’invarianza della

dimensione di Hausdorff di un insieme.

Il secondo capitolo è dedicato alle trasformazioni cremoniane, in particolare

alle trasformazioni cremoniane intere: alla caratterizzazione di alcune

proprietà invarianti, segue la presentazione della “congettura dello

jacobiano”.

Si passa poi al “punto di vista” di von Staudt. È sembrato opportuno

incominciare con alcuni richiami di geometria proiettiva; questi

rappresentano il contenuto del capitolo successivo: si descrivono tre diverse

impostazioni della geometria proiettiva, a cui si fa riferimento per definire

le proiettività, le collineazioni e le involuzioni.

La costruzione grafica di un’involuzione permette di caratterizzare le

quaterne armoniche: nel quarto capitolo, dopo una breve presentazione di

carattere storico, si enuncia un risultato, noto come teorema di Staudt, che

lega le proiettività alle corrispondenze staudiane, cioè alle corrispondenze

biunivoche che mutano ogni quaterna armonica in una quaterna armonica.

Il quinto capitolo è dedicato alla discussione di alcune proprietà,

prevalentemente topologiche, per le quali è possibile distinguere tra “punti

di vista” di Klein e di von Staudt.

A conclusione della tesi, si presentano alcune situazioni di invarianza in

altri ambiti della Matematica, con casi particolari in cui i due punti di vista

coincidono. - 3 -

CAPITOLO 1

In prima istanza, nell’ottica del programma di Erlangen, esamineremo

l’invarianza di alcune delle più significative proprietà di sottoinsiemi di un

certo ambiente (che verrà specificato di volta in volta), rispetto alle

collezioni delle affinità e delle applicazioni bilipschitziane, di cui le stesse

affinità fanno parte.

Spunti interessanti sono forniti anche dalla teoria della misura e, per questa

ragione, risulterà efficace presentare alcune proprietà delle misure di

Lebesgue e di Hausdorff, invarianti rispetto ai gruppi delle suddette

trasformazioni.

1.1 Affinità

Def. Si dice affinità, un’applicazione biunivoca che può essere rappresen-

tata con la seguente uguaglianza:

y = Ax + b A è una matrice nxn con determinante non nullo, x, y e

n

b sono vettori di R .

Se n = 1, ogni affinità è una similitudine, perchè si rappresenta nella forma

y = ax + b, con rapporto di similitudine pari a |a|.

Se n = 2 si ha un’affinità del piano , cioè una trasformazione che conserva

le rette.

Esempi di affinità nel piano:

1) Le similitudini (e le isometrie, in particolare) conservano le rette e

sono, dunque, affinità.

2) Dati una retta r, un vettore v, non parallelo ad r e k positivo, si dice

omologia di asse r, direzione v e rapporto k la trasformazione O R,V,K

definita da O (P)=P se P è un punto di r; altrimenti O (P)=P',

R,V,K R,V,K

con P' punto ottenuto come segue:

si considera la retta s, passante per P e parallela a v e il punto Q di

intersezione tra r ed s; P' è il punto appartenente alla semiretta con

origine Q passante per P, tale che d(P', Q) = kd(P, Q).

- 4 -

Prop. Le affinità conservano il parallelismo tra rette, i parallelogrammi e i

rapporti tra le distanze di punti allineati.

Data cioè un’affinità , e P, Q, R punti allineati distinti, sia h tale che

α d(P, Q) = hd(P, R)

(P), (Q), (R), che sono allineati, verificano la condizione:

allora i punti α α α

d( (P), (Q)) = hd( (P), (R)).

α α α α

La proprietà di essere una curva algebrica piana è invariante per affinità; si

può dimostrare che si conservano anche il grado della curva, il numero e la

molteplicità delle sue componenti irriducibili.

Si analizza come un triangolo equilatero inscritto in una circon-

Esercizio ferenza, si trasforma sotto l’azione di un’affinità.

Sia f un’affinità: essa trasforma il triangolo ABC, inscritto nella

circonferenza, in un triangolo A'B'C', inscritto in un’ellisse. Il centro della

circonferenza si trasforma nel centro dell’ellisse.

Si vuole provare che, nota l’ellisse trasformata della circonferenza e fissato

A'=f(A), il triangolo A'B'C', trasformato di ABC, è determinato.

Si costruisce la parallela r alla retta s per BC, passante per A e ivi tangente

alla circonferenza; il segmento BC ha come punto medio M, che è punto

medio anche del raggio OH (questo come conseguenza del fatto che il

circocentro è anche baricentro del triangolo isoscele e le mediane risultano

divise dal baricentro in due parti, una doppia dell’altra).

- 5 -

Essendo f un’affinità, le rette parallele r ed s sono da essa trasformate nelle

rette parallele r ' ed s'.

Fissato A'=f(A), la tangente per A' all’ellisse (trasformata della

circonferenza) risulta essere la trasformata di r. Per quanto detto prima, la

trasformata di s è parallela a r ' e passa per M' = f(M), punto medio di O'H'

(con O'=f(O), centro dell’ellisse). M' sarà anche punto medio di B'C',

segmento che giace su s'. B' e C' sono i trasformati di B e C: si individua,

pertanto, il triangolo A'B'C'.

Un’affinità può trasformare una circonferenza in un’ellisse arbitraria e un

triangolo equilatero in un triangolo arbitrario, però non può trasformare un

triangolo equilatero inscritto in una circonferenza in un triangolo del tutto

arbitrario inscritto nell’ellisse trasformata.

1.2 Affinità e misura di Lebesgue n

Considerato lo spazio di misura (R , L, ), con la -algebra dei misurabili

secondo Lebesgue e la misura di Lebesgue; vale il seguente:

Teor. Ogni affinità altera la misura di Lebesgue di un sottoinsieme B di L

di un fattore costante, pari a |det A|.

Si deve provare che, data un’affinità , vale la seguente uguaglianza:

α

λ λ

( (B)) = (B), con = |det A|.

α ρ ρ

- 6 -

Premettiamo alla dimostrazione il seguente risultato:

n n

Sia un aperto di R e : R un’applicazione iniettiva di classe

Teor. φ

1

C , tale che per ogni x in , la matrice jacobiana J (x) non sia sin-

φ

, chiuso e limitato; allo-

golare. Sia B un sottoinsieme misurabile di

ra anche (B) è misurabile e vale la formula:

φ ϕ ρ

∫ ∫

=

f ( x ' ) dx ' f ( ( x )) ( x ) dx , ove (x)= |det J (x)|,

φ

ρ

ϕ ( B ) B

per ogni funzione f: (B) R, continua.

φ n

Certamente si può considerare = R : una qualunque affinità (= )

α φ

soddisfa alle ipotesi del teorema.

È chiaro che vale la seguente relazione:

α ρ

∫ ∫

= o

fdx ( f ) dx e B è misurabile secondo Lebesgue.

α ( B ) B

un’affinità, nella forma y = Ax + b è chiaro che la matrice

Essendo ,

α

jacobiana di è proprio A: si ha dunque = |det A|.

α ρ

Poichè la misura di Lebesgue dell’insieme (B), può essere presentata come

α

l’integrale sull’insieme stesso della costante 1, sfruttando il teorema di cui

sopra si ottiene:

λ α ρ ρ ρλ

∫ ∫ ∫

= = = =

( ( B )) dx ' dx dx ( B )

α ( B ) B B

Nell’ottica del Programma di Erlangen, la misura di un sottoinsieme

Oss. misurabile è invariante per isometrie.

Le proprietà di avere misura non nulla e misura finita sono, invece,

invarianti per affinità.

Vale, inoltre, il seguente:

Dato un gruppo G, localmente compatto (cioè i punti hanno intorni

Teor. compatti) e di Hausdorff, esiste un’unica misura finita sui compatti

e positiva sugli aperti di G, invariante per traslazioni.

- 7 -

1.3 Applicazioni lipschitziane

Sia X uno spazio metrico, un’applicazione f: X X si dice lipschit-

Def. ziana se esiste una costante positiva L tale per cui:

d(f(x), f(y)) Ld(x, y).

Se lo spazio metrico è proprio la retta reale, come distanza si considera

quella euclidea: d(x, y)= |x-y|.

Esempi:

* La funzione quadrato non è lipschitziana; fissata un’arbitraria costante L,

basta scegliere y = 0 e x > L.

* La restrizione di tale funzione a un intervallo risulta invece lipschitziana:

considerando l’intervallo [-5, 5]

− = + − ≤ + − ≤ −

2 2

x y x y x y ( x y ) x y 10 x y

Si generalizza scegliendo un intervallo [-M, M] e L=2M.

=

f ( x ) x non è lipschitziana: scegliendo y = 0,

* La funzione radice

≤ -2

x Lx è falsa per tutti gli positivi se = 0, per 0 < < se >0. Si

x L x L L

può ottenere la lipschitzianità restringendosi a particolari intervalli del ti-

[ ] 1

=

δ +∞ L

,

po , con la scelta .

δ

2

* La funzione segno non è lipschitziana.

Una funzione f: [a, b] R si dice a variazione limitata se, suddiviso

Def. l’intervallo [a, b] in un numero finito di parti n

∑

= −

= = V f ( x ) f ( x )

< < <

a x x x b

... , la variazione è

+

i 1 i

0 1 n =

i 0

finita.

Ogni funzione lipschitziana è a variazione limitata.

Prop. - 8 -

f a b

Per ipotesi sia una funzione lipschitziana sull’intervallo [ , ], esiste allora

una costante L tale per cui: d f x f y Ld x y

( ( ), ( ))= ( , ).

Si ha: − = ≤ = − = −

f ( x ) f ( x ) d ( f ( x ), f ( x )) Ld ( x , x ) L x x L ( x x )

+ + + + +

i 1 i i 1 i i 1 i i 1 i i 1 i

L’ultimo passaggio è giustificato dalla scelta degli estremi dei

sottointervalli.

Si ottiene:

n

∑ ∑

= − ≤ − = −

V f ( x ) f ( x ) L ( x x ) L (

b a ) ,

+ +

i 1 i i 1 i

=

i 0 i

poichè i termini intermedi si elidono a coppie.

La variazione è, dunque, finita.

Il viceversa è falso.

Si può mostrare che ogni applicazione monotona è a variazione limitata: la

=

f x x

( )

funzione radice è monotona, perciò a variazione limitata, ma

non è lipschitziana come già detto.

1.4 Applicazioni bilipschitziane f

Sia X uno spazio metrico, un’applicazione : X X si dice bilipscit-

Def. ziana se esistono due costanti positive c e c tali che:

1 2

d x, y d f f y d x, y x y

c ( ) ( (x), ( )) c ( ), per ogni e in X.

1 2

f

In altre parole, si richiede che sia lipschitziana e invertibile e che anche

l’inversa sia lipschitziana. - 9 -

Ogni affinità è un’applicazione bilipschitziana.

Prop.

Per comodità grafica, ci si riferisce a un’affinità nel piano; la dimostrazione

n

si estende facilmente a una qualunque affinità di R .

2 2

: R R .

Sia, dunque r

Si consideri un’arbitraria retta , passante per l’origine O.

r r r

| : ( ) è una similitudine di rapporto ( ).

r 1 1

Si consideri, ora, la circonferenza unitaria S , centrata nell’origine; (S ) è

(O) = O (ipotesi

un’ellisse centrata nell’origine, nell’ipotesi che si abbia

certamente non limitativa, dato che a essa ci si può sempre ricondurre

mediante una traslazione).

Sia P un punto della circonferenza e sia Q il suo trasformato: essendo

OP=1, OQ fornisce il rapporto di similitudine, relativo alla retta per OP.

1 1

Essendo S compatta ed continua, (S ) è un compatto. Per cui la distanza

1

(S ) da O ha massimo M. Tale valore è una costante di

dei punti di

Lipschitz per . - 10 -

-1

Analogamente, è un’affinità e ci permette di trovare un valore N tale per

cui:

d x, y d x y d x ,y x y

M ( ) ( ( ), ( )) N ( ), per ogni e in R.