Un’analisi sui sistemi di Reazione-Diffusione

articoli79.jpgTesi di laurea triennale in matematica. Lo scopo che ci poniamo in questa tesi è quello di formulare un modello matematico, e una metodologia che permetta la descrizione dell’evoluzione di alcuni tra i più interessanti fenomeni che si presentano in natura. L’equazione che ci accompagna e detta di reazione-diffusione.

Indice

Introduzione
1. Un Teorema di esistenza e unicità
   1.1 Preliminari
   1.2 Teorema di esistenza e unicità
2 Domini invarianti
   2.1 Motivazioni
   2.2 Domini invarianti
      2.2.1 Una spiegazione "fisica"
      2.2.2 Il caso dei rettangoli
3 Un teorema di confronto
   3.1 Problemi associati
   3.2 Teorema di confronto
4 Due esempi fisicamente interessanti
   4.1 Modello Preda-Predatore
      4.1.1 Alla ricerca di un dominio invariante
      4.1.2 Applichiamo il confronto
   4.2 Un Modello di Competizione (scoiattoli rossi vs scoiattoli grigi)
      4.2.1 Alla ricerca di un dominio invariante
      4.2.2 Applichiamo il confronto 2

Osservazioni finali

Nei due sistemi che abbiamo analizzato abbiamo sempre ottenuto una situazione limite, ovvero una situazione che ha sempre portato all’estinzione almeno di una delle due popolazioni. Ciò è dovuto ovviamente alla natura dei coefficienti scelti. In alcuni casi infatti si possono studiare casi (tramite metodi che vanno oltre quello di confronto) nei quali si ottiene una certa ciclicità degli eventi.

Ovvero per esempio prendendo il modello preda-predatore si può in determinate condizioni presentarsi la seguente situazione: se le prede iniziali non sono abbondanti può veri carsi una diminuzione di predatori (in quanto le prede non riescono a soddisfare le necessità di tutti), la qual cosa porta quindi a un aumento di prede (essendo minacciate da meno predatori), e ciò porta quindi a un aumento di predatori (in quanto ci sono piu prede a disposizione) che porta quindi a una diminuzione di prede, e il ciclo si ripete.

Un altro tipo di analisi che si può effettuare su modelli di sistemi di reazione diffusione e quello riguardante le onde viaggianti, ovvero si tratta di un’analisi che descrive il modo con cui un sistema passa da uno stato di equilibrio all’altro a causa di una perturbazione. Ma questa è un’ altra storia…

Bibliografia

[1] Joel Smoller. Shock waves and reaction-di usion equations. Springer, 1994.
[2] Murray, Dickson. Mathematical biology. Springer, 1989.
[3] Keener, James. Mathematical physiology. Springer, 1998.
[4] Dym, McKean. Fourier series and integrals. Academic Press, 1972.
[5] Friedman. Partial di erential equations of parabolic types. Prentice-Hall, 1964.
[6] Du y. Green’s functions with application. Chapman & Hall, 2001.
[7] C.V.Pao Nonlinear parabolic and elliptic equations. Plenum Press, 1992.
[8] Mascia. Note del corso: Modelli analitici per le Applicazioni II. 40

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Commenti

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Ci sono 2 commenti su questo articolo:

  1. In effetti già che ci sono potrei brevemente dire che si tratta.
    Si tratta dello studio di equazioni a derivate parziali di tipo parabolico con condizioni di Neumann nulle al bordo. Questa frase incomprensibile definisce un tipo di problema che con opportuni metodi (domini invarianti e teorema di confronto) riduce il problema di cui si tratta (in genere evoluzione di specie, competizione animale, chemotassi…) da un problema a eq. a derivate parziali in uno a eq. diff. ordinarie. Infine con questi metodi si riesce a studiare cosa succede al sistema (popolazioni a contatto, proteine nel corpo….) per tempi lunghi.
    Se avete resistito nella lettura di questa introduzione e non ne avete ancora abbastanza, non mi resta che augurarvi buona lettura

  2. Sono il laureato che ha scritto questa tesi, volevo dirvi che vi sono grato per aver pubblicato la mia tesi