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 Appunti di Algebra per l'università: Gruppi, Categorie, Campi e Teoria di Galois, Topologia e applicazioni algebriche. Un book in progress sui principali argomenti di algebra con esempi ed esercizi.
Capitolo 1. Gruppi 7
1. Generalità 7
2. Azioni di gruppi 20
3. Gruppo simmetrico 24
4. Gruppi abeliani nitamente generati 27
5. p-gruppi e Teoria di Sylow 28
6. Gruppi nilpotenti 33
7. Sottogruppi normali minimali 37
8. Gruppi risolubili 39
9. Sottogruppi notevoli 46
10. Estensioni di gruppi 48
11. Teoria di Hall 51
12. Gruppi transitivi e primitivi 55
13. Alcuni gruppi piccoli 60
14. I gruppi alterni 63
15. I sottogruppi massimali di Sn 70
16. Esercizi sui gruppi 74
Capitolo 2. Categorie 83
1. Anelli e moduli: cenni 83
2. Categorie: definizioni ed esempi 91
3. Il lemma di Yoneda 96
4. Funtori rappresentabili 100
5. Funtori aggiunti 102
6. Prodotti, coprodotti, nuclei, conuclei 103
7. Limiti 107
Capitolo 3. Campi e teoria di Galois 117
1. Anello dei polinomi e campo delle frazioni 117
2. L'endomorfismo di Frobenius 120
3. Struttura di un'estensione semplice 121
4. Formula dei gradi 123
5. Campi di riducibilità completa 125
6. Separabilità dei polinomi irriducibili 131
7. La pura inseparabilità 135
8. Campi perfetti 137
9. Il gruppo di Galois e le corrispondenze 138
10. Relazioni tra gradi e indici 139
11. Estensioni di Galois 142
12. Normalita e stabilità 143
13. Estensioni di Galois finite 145
14. Le funzioni simmetriche elementari 147
15. Sui campi niti 149
16. La funzione di Moebius 155
17. Il teorema dell'elemento primitivo 157
18. Chiusure split 159
19. Traccia, norma, estensioni di Galois cicliche 160
20. Campi ciclotomici 164
21. Determinazione del gruppo di Galois 167
22. Il teorema fondamentale dell'algebra 178
23. Risolubilità per radicali 180
24. Costruibilità 186
25. Altri risultati 189
Capitolo 4. Topologia e sue applicazioni algebriche 191
1. Spazi topologici 191
2. Spazi metrici 199
3. Spazi compatti, ultra ltri e prodotti 202
4. Intermezzo: topologia quoziente 206
5. Assiomi di separazione e lemma di Urysohn 207
6. Funzioni continue a valori reali 210
7. Spettro di un anello 211
8. Il caso di Z e dei P.I.D.. Gli spazi affini 212
9. Il caso di Z[X] 214
10. Una giusti cazione agli schemi affini 215
11. Applicazione limiti proiettivi: i gruppi profiniti 217
12. Applicazione limiti induttivi: localizzazione 226
13. Teoria dei fasci e spazi anellati 229
Indice analitico 237
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