Matematicamente
|
|
| Limiti di funzioni e funzioni continue | di Carlo ELce |
|
Limiti di funzioni e funzioni continue Se il valore di una funzione f(x) si avvicina al valore L quando x si avvicina ad a , diciamo che f(x) ha come limite L per x tendente ad a. Noi scriviamo ciò, in notazione matematica, così:   Affinchè f(x) abbia limite L quando x si avvicina ad a, devono esistere il limite destro e il limite sinistro per x tendente ad a e devono essere uguali. Con notazione matematica  se e solo se  e  . Una funzione f(x) è continua in x = a se: 1. f(a) è definito; 2.  esiste; e 3.  . C'è differenza tra un limite che esiste in un punto del dominio di una funzione e la continuità della funzione nel punto? Sì. La continuità impone una condizione più forte. Infatti, perché un limite esista è irrilevante che il valore della funzione esista in x = a, o anche che appartenga al dominio della funzione. Per la continuità, noi dobbiamo poter valutare la funzione in a, e il valore f(a) deve coincidere con il limite di f(x) in a. Questo limite esiste ed è 1 se x è misurato in radianti, ma 0 non appartiene al dominio di  .   Esistono vari modi di calcolare i limiti. 1. Definiamo una lista di valori che si avvicini ad a e calcoli il valore della funzione in ciascuno di questi punti.      I numeri nella colonna di destra tendono a 8 quando la variabile indipendente tende a 11. 2. Se le funzioni sono polinomi, radici, seni, coseni, esponenziali, o una combinazione algebrica di queste funzione (somma, differenza, prodotto, o quoziente), proviamo a sostituire il numero a cui tende la variabile indipendente per ottenere il limite. Se quel valore non è ¥ o – ¥ , e l'espressione del limite non si pone nella forma 0/0 o ¥ / ¥ , allora abbiamo raggiunto il risultato.   Poniamo p /2 al posto di q .   Poniamo 2 al posto di t. 3. Se quando sostituiamo 1 alla variabile indipendente otteniamo una forma del tipo 0/0 o ¥/¥ , proviamo a scomporre in fattori l'espressione dentro il segno di limite per eliminare il denominatore.  Se sostituiamo 1 a t otteniamo 0/0. Prima di sostituire, possiamo fattorizzare il numeratore:  Ora sostituiamo 1 a t:   dà Che succede se la variabile tende a ¥ o – ¥ ? Nessun problema se non troviamo forme indeterminate 0/0 o ¥ / ¥ .   dà    perchè dà Se quando sostituiamo otteniamo 0/0 o ¥ / ¥ proviamo a scomporre in fattori per tentare di eliminare l'indeterminazione.  Cosa possiamo dire del seguente  ?   otteniamo un insieme di numeri compresi tra Questo è un caso in cui ottieni una risposta equivoca. Questo limite non esiste! Ciò succede perché la funzione coseno è periodica e così assume tutti i valori compresi tra –1 e 1 .  Ecco l'esempio di una funzione che ammette limite per x = 0,5, ma non è continua in x = 0,5.    La discontinuità nel punto 0,5 è evidenziata nel grafico. Il limite esiste in x = 0,5, perchè più ci avviciniamo a 0,5, più la funzione si avvicina a 1,5.   dà   dà Dunque, func(x) non è continua per x = 0,5 . Per essere continua, func(0,5) deve esistere ed essere uguale a 1,5:    Il prezzo del biglietto di un cinema è 8-mila £ per ragazzi sotto i 12 anni e anziani sopra i 59, e 10-mila per gli altri.  Qual è  ? Prezzo è una funzione continua?  Grafico di prezzo(w):  Calcoliamo i limiti destro e sinistro per w tende a 12.  perché prezzo(w) = 8 per ogni valore di w 12.  perché per 12 w 60, prezzo(w) = 10. Poiché questi limiti sono diversi, prezzo(w) non ha il limite per w tendente a 12. Ciò risponde esaurientemente alla domanda sulla continuità: prezzo(w) non è continua per w = 12; sebbene prezzo(12) sia definita, il limite per w tendente a 12 non esiste.
Scrivi Commento
Powered by AkoComment Tweaked Special Edition v.1.4.6 |
||||||
| < Prec. |
|---|
|
Iniziative editoriali
|
Test - quiz - simulazione |
Gioca con la matematica |
 |
|
|
|
|