Piano cartesiano, definizioni e proprietà

Appunto di geometria analitica, molto dettagliato, sul piano cartesiano. Una raccolta di tutte le definizioni degli elementi caratteristici, i quadranti, le coordinate di un punto, la corrispondenza tra numeri reali e punti del piano, la retta come luogo geometrico del piano cartesiano. La condizione di appartenenza di un punto ad una curva e la traslazione di un sistema di riferimento. Una sintesi completa per un ripasso dell’argomento.

Definizioni di base degli elementi del piano cartesiano

Iniziamo la trattazione di questo argomento con le definizioni riportate di seguito.

Definizione 1: Sistema di riferimento monometrico ortogonale:Siano date due rette orientate ortogonali

ed , la prima disposta orizzontalmente con verso positivo a destra e la seconda disposta verticalmente con verso positivo in alto, tali da avere la stessa unità di misura e origini coincidenti. Allora si dice che il piano è stato dotato di un sistema di riferimento monometrico ortogonale, o cartesiano.

Definizione 2: Piano cartesiano: Prende il nome di piano cartesiano un piano geometrico dotato d'un sistema di riferimento cartesiano. La comune origine

delle due rette orientate è detta origine del piano, il quale a sua volta è indicato con uno dei simboli .

Definizione 3: Assi e quadranti: Sia dato un piano cartesiano; la retta

è detta asse delle ascisse, mentre la retta è detta asse delle ordinate. I quattro angoli in cui il piano risulta diviso dalle due rette sono detti primo, secondo, terzo e quarto quadrante; essi sono numerati in verso antiorario a partire da quello in alto a destra.

Corrispondenza biunivoca tra punti del piano e numeri reali

Osservazione 1: Comunque si prenda un punto appartenente a un piano cartesiano, è possibile determinare in maniera univoca le sue proiezioni ortogonali e sull'asse delle ascisse e delle ordinate. Poiché il punto appartiene alla retta orientata , esisterà un numero reale che lo individua su tale retta, diciamo ; nello stesso modo è possibile trovare un numero reale, diciamo , che individua il punto sulla retta orientata .

Osservazione 2: Comunque si prendano due numeri reali

e , esisteranno due punti e da essi individuati rispettivamente sulle rette orientate e . Se tracciamo la retta perpendicolare all'asse delle passante per e quella perpendicolare all'asse passante per , l'ortogonalità di e implica che anche le nuove rette saranno ortogonali, e in particolare avranno un solo punto d'intersezione. Chiamato tale punto, potremo dire che è univocamente determinato dai numeri reali e .

Osservazione 3: In virtù dell'osservazione 1 e dell'osservazione 2 è dimostrata l'esistenza di una corrispondenza biunivoca tra le coppie di numeri reali

e i punti del piano cartesiano. Ha dunque senso la definizione seguente:

Definizione 4: Coordinate di un punto appartenente a un piano cartesiano.
Sia dato un punto

appartenente a un piano cartesiano; vengono chiamati ascissa e ordinata di i numeri e che ne individuano la posizione nel sistema di riferimento. Assieme esse sono dette coordinate di , e ciò si indica con il simbolo .

Osservazione 4: Grazie alla definizione 4, un'entità geometrica come un punto è ricondotta a una coppia di numeri che ne riassume tutte le proprietà. Ciò dà la possibilità generale di trattare in maniera analitica, cioè adoperando l'algebra e altre tecniche numeriche, quei problemi che normalmente sono trattati solo in maniera geometrica. A questo scopo torna utile la seguente definizione:

Luogo geometrico di un'equazione.

Sia data un'equazione nelle due incognite ed , dalla forma generale . Si definisce luogo geometrico dell'equazione l'insieme costituito da tutti i punti del piano cartesiano le cui coordinate soddisfano l'equazione, cioè tali che sia:

Osservazione 5: Se assumiamo che tutte le proprietà di cui vogliamo trattare possono essere espresse attraverso un'equazione, allora la definizione 5 coincide con quella di luogo geometrico che viene data in geometria classica. Essa infatti definisce un luogo geometrico come l'insieme dei punti aventi una data proprietà. Nei casi più comuni tali insiemi sono costituiti da punti allineati a formare delle rette o delle curve.

Osservazione 6: La definizione 5 rende molto semplice trovare l'intersezione di due luoghi geometrici. Infatti un punto

che appartenga all'intersezione dovrà verificare entrambe le equazioni, ovvero dovrà essere tale che:

Ciò significa che le coordinate di P saranno soluzione del sistema:

Traslazione di un sistema di riferimento

Osservazione 7: Sia dato un piano cartesiano . Detto un punto qualsiasi ad esso appartenente, consideriamo quelle rette ed passanti per che sono parallele agli assi ed e ne hanno lo stesso orientamento. Abbiamo in questo modo dotato il piano di un nuovo sistema di riferimento , detto traslato rispetto al primo.

Osservazione 8: Sia adesso

un punto qualsiasi del piano. Ad esso corrispondono due diverse coppie di coordinate, una nel primo sistema di riferimento e una nel secondo, che indichiamo rispettivamente come e ; siamo interessati a trovare una legge che ci consenta di passare da un set di coordinate all'altro. D'altro canto dall'immagine si vede subito che:

o il che è lo stesso

Queste utili formule sono dette formule di cambiamento di coordinate, e vengono spesso usate in geometria analitica per semplificare alcuni problemi.

Per ulteriori approfondimenti sul piano cartesiano vedi anche qui