In quest'appunto troverai delle informazioni relative alla definizione di
derivata e di rapporto incrementale.
Cos'è il rapporto incrementale di una funzione e come si definisce
Consideriamo la
funzione [math]f(x)[/math]
definita in un
intorno [math]I[/math]
del punto
[math] x_0 [/math]
. Se incrementiamo
[math] x_0 [/math]
di una quantità
[math]h[/math]
, cioè abbiamo un incremento
[math]\Delta x = h [/math]
positivo o
negativo tale che
[math] x_0 + h [/math]
in
[math]I[/math]
, la
funzione [math]f(x)[/math]
assumerà in quel punto il
valore [math] f(x_0 + h) [/math]
.
L'incremento della funzione viene indicato con
[math]\Delta y = f(x_o + h) - f(x_0) [/math]
, e può essere
positivo, negativo o nullo.
Consideriamo ora il
rapporto tra l'
incremento della funzione e l'
incremento della variabile corrispondente:
[math]\frac{Delta y}{Delta x} = \frac{f(x_0 + h)-f(x_0)}{h} [/math]
.
Questo rapporto viene definito
rapporto incrementale della funzione
[math]f(x)[/math]
relativo al punto
[math]x_0[/math]
e all'incremento
[math]h[/math]
.
Rappresentiamo graficamente il concetto di
rapporto incrementale.
Come calcolare praticamente il rapporto incrementale
Consideriamo, nel
piano cartesiano, una curva generica
[math]f(x)[/math]
, e siano
[math]P[/math]
e
[math]Q[/math]
i punti della curva tali che le loro
ascisse siano rispettivamente
[math] x_0 [/math]
e
[math] x_0 + h [/math]
.
Sappiamo che il coefficiente angolare di una retta si può ottenere come il rapporto tra la differenza delle ordinate e la differenza delle ascisse di due qualsiasi punti della curva. Quindi, considerando la retta per
[math]P[/math]
e
[math]Q[/math]
, il suo
coefficiente angolare è dato da:
[math] m_{PQ} = \frac{y_Q - y_P}{x_Q - x_P} = \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{x_0+h-x_0} = \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} [/math]
.
Quindi, possiamo affermare che il rapporto incrementale è uguale al coefficiente angolare della retta secante il grafico di
[math]y = f(x)[/math]
nei suoi punti di
ascissa [math] x_0 [/math]
e
[math] x_0 + h [/math]
.
Inoltre, consideriamo la retta per
[math]PQ[/math]
e l'
angolo che essa forma con il
semiasse positivo delle ascisse, che chiamiamo
[math]\phi[/math]
.
Gli angoli
[math]\phi[/math]
e
[math]QPM[/math]
sono
congruenti, perché angoli corrispondenti rispetto alle parallele
[math]OX[/math]
e
[math]PM[/math]
con la trasversale
[math]PQ[/math]
.
Ricordando le proprietà delle funzioni goniometriche, la tangente di tali angoli è data da:
[math] \tan\phi = \frac{MQ}{PM} = \frac{y_Q - y_M}{x_M - x_P} = \frac{y_Q - y_P}{x_Q - x_P} = \frac{f(x_o+h)-f(x_0)}{h} [/math]
.
Possiamo quindi concludere affermando che il rapporto incrementale è uguale alla tangente goniometrica dell'angolo formato dal semiasse positivo delle ascisse e dalla secante al grafico di
[math]y = f(x)[/math]
passante per i suoi punti di ascisse
[math]x_0[/math]
e
[math]x_0 + h[/math]
.
Come definire una derivata a partire dal rapporto incrementale
Consideriamo la
funzione [math]f(x)[/math]
definita in un
intorno completo di
[math]x_0[/math]
e consideriamo il
rapporto incrementale, essendo
[math]h[/math]
l'
incremento. Facciamo tendere a zero l'
incremento
[math]h[/math]
, e consideriamo quindi il
limite del rapporto incrementale, quando l'incremento tende a zero:
[math] lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} [/math]
Se tale limite esiste ed è finito, si dice che la funzione è derivabile nel punto
[math] x_0 [/math]
, e tale limite prende il nome di
derivata della funzione per
[math]x = x_0 [/math]
.
Tale
derivata si indica con
[math]f'(x_0) [/math]
. Se, invece,
tale limite non esiste, non esiste neanche la derivata.
Se il limite del rapporto incrementale è infinito, la funzione non è derivabile, e si dice che la derivata è infinita. Quindi, ricapitolando, la derivata di una funzione
[math]f(x)[/math]
in un punto
[math] x_0 [/math]
è il
limite, se esiste, del
rapporto incrementale, al tendere a zero
dell'incremento dato alla variabile indipendente.
Per definizione, abbiamo quindi che:
[math] lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} = f'(x_0) [/math]
Si dice, inoltre, che una funzione è derivabile in un intervallo
[math](a; b)[/math]
se è
derivabile in ogni punto dell'intervallo
[math](a; b)[/math]
. In questo caso, la
derivata è definita in ogni punto
[math]x[/math]
in
[math](a;b )[/math]
e risulta essere anch'essa una funzione di
[math]x[/math]
, che viene definita
funzione derivata.
Inoltre, considerando la funzione
[math]f(x)[/math]
nel solo punto
[math] x_0 [/math]
, e in particolare in un suo intorno
destro o sinistro, possiamo parlare, rispettivamente, di
derivata destra o
derivata sinistra, che si indicano in questo modo:
[math] lim_{h \rightarrow 0^{+}} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} = f_{+}'(x_0) \rightarrow m [/math]
è la
derivata destra
[math] lim_{h \rightarrow 0^{-}} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} = f_{-}'(x_0) \rightarrow m [/math]
è la
derivata sinistra
In particolare, una funzione è derivabile in un punto solo se esistono finite e sono uguali tra loro le derivate destra e sinistra in quel punto.
Se una funzione è definita in un intervallo chiuso
[math][a; b ][/math]
, diremo che, se esistono,
[math]f'(a) [/math]
è la
derivata destra mentre
[math]f'(b)[/math]
è la
derivata sinistra. La funzione è inoltre
derivabile in tutto
[math][a; b][/math]
se è
derivabile in tutti i punti interni di
[math][a; b ][/math]
e negli
estremi.
Per ulteriori approfondimenti sulla definizione di derivata vedi anche qua
