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di _stan
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In questo appunto viene analizzato e descritto il teorema di Lagrange e due teoremi conseguenti ad esso.
Per comprendere meglio tale teorema è utile prima ripassare brevemente la definizione di funzione, la continuità e la derivabilità di essa.

Funzione: definizione, caratteristiche, continuità e derivabilità

Una funzione è una relazione che associa ad ogni elemento del primo insieme uno e un solo elemento del secondo.
Una funzione è quindi una qualsiasi relazione che, applicata ad un elemento (in genere tale elemento viene indicato con la lettera generica x), fornisce un determinato valore f(x).
Se chiamiamo con y=f(x) è possibile tracciare in un piano cartesiano le coordinate dei punti (x,y=f(x)) che compongono la funzione in modo da tracciare il grafico.

Una funzione si definisce continua se in ogni suo punto esiste e quindi si può calcolare il limite della funzione e tale limite corrisponde al valore della funzione.
Visivamente una funzione è continua se il suo grafico è rappresentato da una linea continua nell’intervallo considerato.

Una funzione si dice derivabile se in ogni suo punto è possibile calcolare la sua derivata, graficamente una funzione derivabile è rappresentata da una linea che non sia spezzata.
Per ulteriori approfondimenti sul calcolo del rapporto incrementale e sulla derivata di una funzione vedi anche qua

Intervalli: definizione

Un intervallo è un sottoinsieme dei numeri compresi tra due valori che prendono il nome di estremi.
Un intervallo può essere:
  • aperto: se non contiene gli estremi
  • chiuso: se contiene gli estremi
In genere gli intervalli aperti vengono rappresentati dagli estremi racchiusi da parentesi tonde (a volte vengono rappresentati con parentesi quadrate rivolte verso l’esterno, ]a,b[ ) mentre gli intervalli chiusi vengono rappresentati dagli estremi racchiusi da parentesi quadre.

Teorema di Langrange: descrizione e spiegazione

Il teorema di Lagrange, o del valor medio, afferma che, data una funzione y = f(x) continua nell'intervallo chiuso e limitato [a;b], e derivabile nell'intervallo aperto (a;b), esiste almeno un punto c, interno all'intervallo [a;b], tale che si abbia:
[math]\frac{f(b)-f(a)}{b-a} = f'(c)[/math]

Il teorema, quindi, esprime l'uguaglianza tra il rapporto incrementale della funzione nell'intervallo [a;b] e la derivata della funzione in un punto c, interno all'intervallo.

Interpretiamo, ora, il teorema di Lagrange dal punto di vista geometrico.

Interpretazione geometrica del teorema di Lagrange

Consideriamo una curva di equazione y = f(x), e chiamiamo AB l'arco di questa funzione i cui estremi hanno ascisse a e b.

Come sappiamo, il coefficiente angolare o pendenza della retta AB è dato dal quoziente della differenza delle ascisse e la differenza delle ordinate di due punti qualsiasi appartenenti alla retta.

In questo caso, considerando i punti A e B, e sapendo che essi hanno coordinate, rispettivamente, (a; f(a)) e (b; f(b)), il coefficiente angolare della retta AB è dato da:

[math]m_{AB} = \frac{y_b - y_A}{x_B - x_A} = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}[/math]

Dal teorema di Lagrange, abbiamo che m = f'(c), dove c è un punto interno all'intervallo [a;b]; sapendo che f'(c) è il coefficiente angolare della retta tangente alla curva in un punto P, possiamo affermare che tale retta è parallela alla retta passante per i punti A e B.

Per ulteriori approfondimenti sulla retta e la sua equazione analitica vedi anche qua

Applicazioni del teorema di Lagrange

Vediamo alcuni teoremi che ci illustrano delle applicazioni del teorema di Lagrange.

Teorema: Se una funzione continua ha derivata nulla in tutti i punti di un intervallo (limitato, o illimitato), allora essa è costante in quell'intervallo.

La derivata di una funzione in un punto dà un’idea dell’andamento di tale funzione nell’intorno di quel punto, perciò molto spesso è utile valutare la derivata di una funzione in un intervallo per avere delle informazioni sull’andamento della funzione.

La derivata di una funzione si trova utilizzando il rapporto incrementale ovvero attraverso la valutazione del rapporto della differenza tra l’ordinata dei due punti estremi dell’intervallo diviso la differenza delle ascisse degli estremi dell’intervallo.
Se la derivata è nulla vuol dire che le due ordinate dei punti estremi sono uguali, perciò sono disposte alla stessa altezza; se tale relazione vale per ogni coppia di punti estremi all’interno di un intervallo allora si ha che in ogni punto la funzione assume lo stesso valore costante e perciò la funzione in quell’intervallo è rappresentata da un segmento orizzontale.

Lo stesso ragionamento può essere fatto considerando una retta e valutando la pendenza della retta; se la retta ha una pendenza nulla in un certo intervallo si ha che in tale intervallo la retta non varia perciò ha un andamento costante ed è rappresentata da un segmento orizzontale.

Teorema: Se due funzioni continue f(x) e g(x) hanno derivate uguali in tutti i punti di un intervallo, esse differiscono per una costante.

Infatti, se chiamiamo F(x) la differenza tra le funzioni f(x) e g(x), cioè:

[math]F(x) = f(x) - g(x)[/math]

sappiamo che la sua derivata è data dalla somma algebrica delle derivate delle singole funzioni:

[math]F'(x) = f'(x) - g'(x)[/math]

ma, dal momento che le derivate di f(x) e g(x) sono uguali in tutti i punti dell'intervallo considerato, abbiamo che:

[math]f'(x) = g'(x) \rightarrow f'(x) - g'(x) = 0[/math]

e quindi, anche

[math]F'(x) = 0[/math]

ciò significa che F(x) è una costante.

Se due funzioni hanno la stessa derivata vuol dire che nell’intervallo considerato si ha che le due funzioni hanno lo stesso andamento, la derivata però da solo informazioni sull’andamento della funzione e non sulla sua posizione nell’asse delle ordinate perciò due funzioni con la stessa derivata hanno lo stesso andamento ma sono traslate nell’asse delle y.

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