La regola dei segni è una regola che ci permette di risolvere disequazioni di secondo grado o di grado superiore, e disequazioni frazionarie.
Una disequazione frazionaria è scritta in forma canonica se è di uno di questi tipi:
Con
La regola dei segni ci permette di risolvere anche disequazioni lineari in cui la forma canonica è data da
dove
La regola dei segni può essere generalizzata e applicata in entrambi i casi;
Regola dei segni
Se a, b, c, d. sono numeri reali, non nulli, abbiamo che:- [math] (a \cdot b \cdot \ldots ) > 0 \mbox{ e } \frac{a \cdot b \cdot \ldots}{c \cdot d \cdot \ldots} \gt 0 [/math]se il numero dei fattori negativi pari;
- [math] (a \cdot b \cdot \ldots ) \lt 0 \mbox{ e } \frac{a \cdot b \cdot \ldots}{c \cdot d \cdot \ldots} \lt 0 [/math]se il numero dei fattori negativi dispari;
- Per prima cosa, trasportiamo tutti i termini della disequazione al primo membro, cosicché il secondo membro sia zero; rendiamo, quindi, la disequazione in forma canonica;
- scomponiamo il primo membro, in modo da fa comparire solo fattori di primo grado, o fattori di segno costante;
- se la disequazione frazionaria, poniamo le condizioni di accettabilità delle soluzioni, o determiniamo il dominio della disequazione;
- studiamo il segno di ciascun fattore del primo membro;
- tracciamo un schema grafico che indichi il variare del segno dei singoli fattori al variare dellincognita; applichiamo la regola dei segni e determiniamo il segno che assume lespressione al primo membro;
- determiniamo l'insieme delle soluzioni della disequazione;
Esempio
Risolviamo la seguente disequazione fratta:
Poniamo le condizioni di accettabilità:
La disequazione è già in forma canonica, quindi possiamo procedere con lo studio del segno.
Studiamo il numeratore, e individuiamo i valori per cui esso è positivo, negativo o nullo, e riportiamo la situazione in un grafico:
Allo stesso modo, studiamo il segno del denominatore:
Costruiamo, ora, uno schema grafico che sintetizzi la situazione del numeratore e del denominatore;
il segno dell'intera frazione dato dal prodotto dei segni che si hanno al numeratore e al denominatore; ad esempio, nel tratto x
Poiché la frazione iniziale doveva essere minore o uguale a zero, le soluzioni saranno gli intervalli i cui la frazione è negativa, quindi: