_stan
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La regola dei segni è una regola che ci permette di risolvere disequazioni di secondo grado o di grado superiore, e disequazioni frazionarie.

Una disequazione frazionaria è scritta in forma canonica se è di uno di questi tipi:

[math] \frac{A(x)}{B(x)} > 0 \frac{A(x)}{B(x)} \ge 0 [/math]

[math] \frac{A(x)}{B(x)} \lt 0 \frac{A(x)}{B(x)} \le 0 [/math]

Con

[math]A(x)[/math]
e
[math]B(x)[/math]
polinomi di primo grado, o scomponibili in fattori di primo grado, e
[math]B(x)[/math]
diverso dal polinomio nullo.

La regola dei segni ci permette di risolvere anche disequazioni lineari in cui la forma canonica è data da

[math] P(x) \lt 0 P(x) \le 0 [/math]

[math] P(x) \gt 0 P(x) \ge 0 [/math]

dove

[math]P(x)[/math]
è un polinomio scomponibile in due o più fattori di primo grado.

La regola dei segni può essere generalizzata e applicata in entrambi i casi;

Regola dei segni

Se a, b, c, d.
sono numeri reali, non nulli, abbiamo che:
  • [math] (a \cdot b \cdot \ldots ) > 0 \mbox{ e } \frac{a \cdot b \cdot \ldots}{c \cdot d \cdot \ldots} \gt 0 [/math]
    se il numero dei fattori negativi pari;
  • [math] (a \cdot b \cdot \ldots ) \lt 0 \mbox{ e } \frac{a \cdot b \cdot \ldots}{c \cdot d \cdot \ldots} \lt 0 [/math]
    se il numero dei fattori negativi dispari;
Vediamo ora il procedimento da seguire:
  • Per prima cosa, trasportiamo tutti i termini della disequazione al primo membro, cosicché il secondo membro sia zero; rendiamo, quindi, la disequazione in forma canonica;
  • scomponiamo il primo membro, in modo da fa comparire solo fattori di primo grado, o fattori di segno costante;
  • se la disequazione frazionaria, poniamo le condizioni di accettabilità delle soluzioni, o determiniamo il dominio della disequazione;
  • studiamo il segno di ciascun fattore del primo membro;
  • tracciamo un schema grafico che indichi il variare del segno dei singoli fattori al variare dellincognita; applichiamo la regola dei segni e determiniamo il segno che assume lespressione al primo membro;
  • determiniamo l'insieme delle soluzioni della disequazione;

Esempio

Risolviamo la seguente disequazione fratta:

[math] \frac{x-1}{3-x} \le 0 [/math]

Poniamo le condizioni di accettabilità:

[math] \mbox{C.A.: } x \ne 3 [/math]

La disequazione è già in forma canonica, quindi possiamo procedere con lo studio del segno.

Studiamo il numeratore, e individuiamo i valori per cui esso è positivo, negativo o nullo, e riportiamo la situazione in un grafico:

disequazioni frazionarie

[math] N \gt 0 \rightarrow x -1 \gt 0 \rightarrow x \gt 1 [/math]

[math] N \lt 0 \rightarrow x - 1 \lt 0 \rightarrow x \lt 1 [/math]

[math] N = 0 \rightarrow x - 1 = 0 \rightarrow x = 1 [/math]

Allo stesso modo, studiamo il segno del denominatore:

dis frazionarie

[math] D \gt 0 \rightarrow 3 - x > 0 \rightarrow x \lt 3 [/math]

[math] D \lt 0 \rightarrow 3 - x \lt 0 \rightarrow x \gt 3 [/math]

[math] D = 0 \rightarrow 3 - x = 0 \rightarrow x = 3 [/math]

Costruiamo, ora, uno schema grafico che sintetizzi la situazione del numeratore e del denominatore;

disequazione frazionaria
il segno dell'intera frazione dato dal prodotto dei segni che si hanno al numeratore e al denominatore; ad esempio, nel tratto x

disaquazionei frazionarie

Poiché la frazione iniziale doveva essere minore o uguale a zero, le soluzioni saranno gli intervalli i cui la frazione è negativa, quindi:

[math] S: x \le 1 \vee x \gt 3 [/math]

[math] S = (-\infty; 1] \cup (3; +\infty) [/math]