La differenza di energia potenziale ∆U tra due punti A e B è definita come l’opposto del lavoro necessario per spostarsi dal punto A al punto B:
$∆U = U_B – U_A = – L_(A,B) $
Questa definizione può essere applicata anche al caso di una massa m puntiforme che viene spostata da un punto A a un punto B nello spazio, e subisce la forza gravitazionale dovuta alla presenza di una massa M. In questo caso, dalla legge di gravitazione universale, si può dimostrare che il lavoro compiuto dalla forza gravitazionale è dato dalla seguente differenza:
$ L_(A,B) = G * frac(m*M)(r_B) – G * frac(m*M)(r_A) $
dove $r_B$ e $r_B$ sono, rispettivamente, le distanze della massa M dai punti A e B; le quantità che compaiono nella formula rappresentano le energie potenziali gravitazionali nei punti B e A.
Notiamo che in questo caso, la differenza di potenziale tra i due punti si trova cambiata di segno:
$U_B – U_A = G * frac(m*M)(r_A) – G * frac(m*M)(r_B) $
Infatti, l’energia potenziale gravitazionale, per definizione, è una quantità negativa; finché i due punti che stiamo considerando sono sufficientemente vicini, l’energia potenziale gravitazionale è negativa, e abbastanza grande in modulo.
Mano a mano che i punti si allontanano, e r aumenta, il modulo di U si avvicina sempre più a zero, e il suo valore massimo viene raggiunto quando i due corpi si trovano a distanza infinita.
Il fatto che questa grandezza sia negativa può essere spiegato perché essa corrisponde al lavoro della forza gravitazionale per allontanare due masse m ed M a distanza infinita, e tale lavoro è negativo, in quanto la forza ha verso opposto a quello dello spostamento.
L’energia potenziale gravitazionale, quindi, viene definita nel seguente modo per due masse m e M:
$U = -G * frac(m*M)(r) + k$
Nella definizione è presente una costante k che dipende dalla scelta del livello zero di energia potenziale, che è arbitrario. Tuttavia, solitamente, per semplicità si pone k = 0, e quindi si sceglie come livello zero di energia potenziale il caso in cui le masse si trovino a distanza infinita.
In ogni caso, la differenza di energia potenziale tra due punti A e B è indipendente dalla scelta del livello zero, in quanto, quando si calcola la differenza tra due energie potenziali, la costante k si elimina.
La conservazione dell’energia meccanica
Come abbiamo già visto, l’energia meccanica, data dalla somma dell’energia cinetica e dell’energia potenziale di un corpo, in determinate condizioni si conserva.
Nel caso del moto dei pianeti, che avviene nello spazio, non vi sono forze di attrito che agiscono, in quanto i pianeti si muovono nel vuoto. Di conseguenza, anche in questo caso vale la conservazione dell’energia meccanica.
Questo consente di spiegare, ad esempio, la seconda legge di Keplero; infatti, quando un pianeta che orbita attorno al sole si trova in perielio, cioè alla minima distanza da esso, la sua energia potenziale è più grande di quella che avrebbe in afelio, poiché la distanza dal sole è minore; tuttavia, la sua energia cinetica è maggiore perché, come sappiamo, quando il pianeta è più vicino al sole si muove con velocità maggiore.
Il caso di un corpo che non è legato gravitazionalmente ad un pianeta è leggermente diverso.
Abbiamo già visto in precedenza che vi sono diversi tipi di traiettorie che un proiettile lanciato dalla superficie terrestre può seguire, in base alla velocità con cui viene sparato. Vi sono infinite possibilità per traiettorie ellittiche e iperboliche, e una sola per la traiettoria parabolica, che si ottiene quando la velocità del proiettile è la velocità di fuga.
In quest’ultimo caso accade che l’energia totale del proiettile in questione è nulla; infatti l’energia cinetica e l’energia potenziale gravitazionale hanno stesso modulo, ma segno opposto. Il proiettile avrà la minima velocità possibile che gli permette di sfuggire all’orbita del pianeta e di allontanarsi indefinitamente da esso.
Altrimenti, nel caso di velocità minori, come abbiamo visto, la traiettoria è di tipo ellittico, e l’energia totale del corpo è negativa; mentre per velocità maggiori si hanno traiettorie iperboliche, con energia totale positiva.
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