Matematicamente
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| Iterazioni e orbite | di Carlo Elce |
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Valutazione di Funzioni Iterazioni e orbite  Iterare una funzione significa valutare la funzione ripetutamente. Nella prima iterazione, la funzione è valutata per un valore iniziale (chiamato seme ). Nella seconda iterazione la funzione è valutata per il valore uscito dalla prima iterazione e così via. La sequenza dei valori in uscita è chiamata orbita della funzione iterata per il seme assegnato. Una delle cose meravigliose dell'era dei computer è che possiamo demandare agli elaboratori elettronici calcoli noiosi (come quelli delle iterazioni), che essi svolgono in una frazione di secondo. Ecco una procedura che valuta una funzione iterata per un seme assegnato. Questa procedura usa una variabile intervallo e una variabile indice per mantenere la traccia delle successive iterazioni.  Reiteriamo la funzione  per  .  troviamo la prima iterazione: Impostiamo l'intervallo delle iterazioni da 2 a un dato valore n:    Reiteriamo la funzione e listiamo l'orbita:  Provate a cambiare il seme in 35, 88, e -10. Quali risultati ci si può aspettare? L'orbita è rappresentata qui sotto. Quale effetto produce il seme sull'andamento dell'orbita?   Provate ad iterare le seguenti funzioni:     A seconda della funzione da iterare e del valore per il seme scelto, si possono scoprire comportamenti molto diversi per l'orbita. Ecco i comportamenti di diverse orbite.  punto fisso  tende a un punto fisso  tende a un punto fisso  tende all'infinito  Qui l'orbita oscilla tra due valori ed è detta periodica con periodo 2.  periodica con periodo 4  periodica con periodo 6  Qui non è riconoscibile alcuna struttura. Questo comportamento è detto caotico! Anche sistemi dinamici semplici possono presentare un andamento imprevedibile o caotico. Qui sotto itereremo una famiglia di funzioni della forma f(x) = x 2 – c, per vedere come piccole variazioni del valore di c possono dare origine a comportamenti molto diversi.
 Iterare la funzione  Prima iterazione:   Intervallo delle iterazioni:  Iterazione della funzione:  Provate a far variare c da 0.1 a 0.2, poi 0.3, poi 0.4, poi 0.5, e così via fino a 2. Notate il diverso comportamento delle orbite! Per ogni valore di c, rappresentate il tipo di comportamento mostrato.
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