Posizioni reciproche tra retta e circonferenza

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Consideriamo una retta e una circonferenza complanari; possiamo facilmente notare che la retta e la circonferenza possono avere uno, due o nessun punto in comune; per indicare questo tre casi, introduciamo dei termini specifici:

Una retta che non ha punti in comune con la circonferenza si dice esterna alla circonferenza;
una retta che ha un solo punto in comune con la circonferenza si dice tangente alla circonferenza; il punto di intersezione si chiama punto di tangenza;
una retta che ha due punti in comune con la circonferenza si dice secante della circonferenza.

Posizioni reciproche tra una retta e una circonferenza

Teorema

Siano date in un piano una circonferenza di centro O e raggio r e una retta s.

Sia H la proiezione ortogonale di O su s e sia d la lunghezza del segmento OH, ossia la distanza di O da s. Si ha che:

(d gt r) se e solo se la retta è esterna alla circonferenza;
(d = r) se e solo se la retta è tangente alla circonferenza;
(d lt r) se e solo se la retta è secante della circonferenza.

Quindi, possiamo affermare che:

una retta è esterna ad una circonferenza se e solo se la sua distanza dal centro è maggiore del raggio;
una retta è tangente ad una circonferenza se e solo se la sua distanza dal centro è uguale al raggio;
una retta è secante di una circonferenza se e solo se la sua distanza dal centro è minore del raggio;

Vediamo ora alcuni corollari che seguono dal teorema precedente:

Corollario 1: se una retta passa per un punto interno a una circonferenza, è secante della circonferenza.

Corollario 2: la tangente alla circonferenza è perpendicolare al raggio che ha un estremo nel punto di tangenza e, viceversa, la perpendicolare ad un raggio passante per l'estremo del raggio stesso è tangente alla circonferenza.

Posizioni reciproche di due circonferenze