Scheda in cui si trattano i principali insiemi numerici: l’insieme \( \mathbb{N} \) dei numeri naturali, l’insieme \( \mathbb{Z} \) dei numeri interi, l’insieme \( \mathbb{Q} \) dei numeri razionali e l’insieme \( \mathbb{R} \) dei numeri reali.
L’insieme \( \mathbb{N} \) dei numeri naturali
I numeri naturali sono i numeri con i quali solitamente si inizia a contare: 0,1,2,… Essi sono infiniti e ognuno si ottiene dal precedente aggiungendogli 1: di conseguenza l’insieme \( \mathbb{N} \) è un insieme infinito.
Approfondimento
L’insieme \( \mathbb{N} \) può essere presentato in maniera più formale attraverso degli assiomi, ovvero delle affermazioni che vengono prese per vere ed evidenti, i cosiddetti assiomi di Peano. Essi dicono, espressi in modo semplice, che:
- Esiste un numero naturale che è lo \( 0 \);
- Ogni numero naturale ha un successore;
- Due numeri diversi non hanno lo stesso successore;
- Lo 0 non è il successore di nessun numero naturale;
- Se si prende un qualunque sottoinsieme di \( \mathbb{N} \) che contiene lo 0 e il successore di ogni suo elemento, allora tale sottoinsieme è \( \mathbb{N} \) stesso.
Si può approfondire ulteriormente qui:
https://it.wikipedia.org/wiki/Assiomi_di_Peano
http://www.dm.unibo.it/~verardi/Numeri%20naturali.pdf
Le operazioni interne ai numeri naturali
Definizione
Un’operazione \( \star \) si dice interna a un insieme \( A \) se presi due qualunque elementi \( a, b \) dell’insieme \( A \) l’operazione \( a \star b \) restituisce ancora un elemento di \( A \). In tal caso si dice che \( A \) è chiuso rispetto all’operazione \( \star \). In altri termini ancora un’operazione è interna a un insieme se e solo se si può svolgere con i soli elementi di quell’insieme, senza usarne altri.
Le operazioni interne all’insieme dei numeri naturali sono due: l’addizione ( + ) e la moltiplicazione ( \cdot ); esse assieme alla sottrazione ( – ) e alla divisione ( : ), costituiscono le cosiddette quattro operazioni fondamentali.
Terminologia delle quattro operazioni fondamentali
Presa un’operazione \( \star \) qualsiasi, si può schematizzare lo svolgersi di questa operazione nel seguente modo:
\[ a \star b = c \]
- \( a, b \) sono detti operandi;
- \( \star \) è detto operatore;
- \( c \) è detto risultato
Gli operandi, l’operatore e il risultato prendono nomi differenti a seconda di quale delle quattro operazioni fondamentali si considera:
Operazione | 1° operando | 2° operando | Operatore | Risultato |
---|---|---|---|---|
Addizione | 1° addendo | 2° addendo | + | Somma |
Sottrazione | Minuendo | Sottraendo | – | Differenza |
Moltiplicazione | 1° fattore | 2° fattore | \(\cdot\) | Prodotto |
Divisione | Dividendo | Divisore | : | Quoziente |
L’addizione \( + \)
L’operazione di addizione è un’operazione interna all’insieme \( \mathbb{N} \) dei numeri naturali.
Proprietà dell’addizione
L’addizione gode di alcune proprietà fondamentali:
- Proprietà commutativa \( a + b = b + a \)
- Proprietà associativa \( a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c) \)
- Esistenza dell’elemento neutro (lo \( 0 \)): \( a + 0 = 0 + a = a \)
Inoltre essa soddisfa una legge, nota come legge di cancellazione:
Se \( a + c = b + c \) allora \( a = b \)
La sottrazione \( – \)
L’operazione di sottrazione non è un’operazione interna all’insieme \( \mathbb{N} \) dei numeri naturali.
Esempio
\( 2 – 5 \) non è un’operazione che si può svolgere con i numeri naturali: il risultato non è un numero naturale.
Cosa serve per svolgere una sottrazione con i numeri naturali
La sottrazione fra due numeri naturali, ordinatamente \( a, b \) si può svolgere solo se il primo è maggiore o uguale del secondo, ovvero se il minuendo è maggiore o uguale del sottraendo \( a \ge b \)
Proprietà della sottrazione
La sottrazione non gode delle proprietà commutativa e associativa dell’addizione; lo \( 0 \) si può ammettere come suo elemento neutro solo parzialmente: infatti
\( a – 0 = a \)
ma in generale non si può dire nulla della quantità
\( 0 -a \)
(a meno che \( a = 0 \): in tal caso \( 0 – a = 0 \)).
Tuttavia, la sottrazione gode della proprietà invariantiva:
La differenza tra due numeri non cambia se ad ognuno di essi si aggiunge o si sottrae uno stesso numero
\( a – b = (a + c) – (b + c) \)
\( a – b = (a – c) – (b – c) \)
L’addizione e la sottrazione sono operazioni inverse
Definizione Un’operazione si dice inversa rispetto ad un’altra se agisce in modo opposto rispetto a quest’ultima; sostanzialmente essa non fa altro che ritornare al punto di partenza dell’operazione precedente.
\( a + b = c \)
\( c – b = a \)
La moltiplicazione \( \cdot \)
L’insieme \( \mathbb{N} \) dei numeri naturali è chiuso rispetto all’operazione di moltiplicazione.
Proprietà della moltiplicazione
La moltiplicazione gode di alcune proprietà fondamentali:
- Proprietà commutativa \( a \cdot b = b \cdot a \)
- Proprietà associativa \(a \cdot b \cdot c = (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) \)
- Esistenza dell’elemento neutro (l’\(1\)): \( a \cdot 1 = 1 \cdot a = a \)
- Esistenza dell’elemento assorbente (lo \(0\)): \(a \cdot 0 = 0 \cdot a = 0 \)
Inoltre essa soddisfa due leggi, la prima è nota come legge di cancellazione:
Se \( a \cdot c = b \cdot c \) e \( c \neq 0 \), allora \( a = b \)
La seconda invece è nota come legge di annullamento del prodotto:
Se \( a \cdot b = 0 \) allora necessariamente \( a = 0 \) oppure \( b = 0 \)
La divisione \( : \)
L’insieme \( \mathbb{N} \) dei numeri naturali è chiuso rispetto all’operazione di divisione. Il divisore è sempre diverso da 0.
Esempio
\( 2:5 \) non è un’operazione che si può svolgere con i numeri naturali: il risultato non è un numero naturale.
Cosa serve per svolgere una divisione con i numeri naturali
La divisione fra due numeri naturali, ordinatamente \( a, b \) si può svolgere solo se il primo è un multiplo del secondo, o equivalentemente se il secondo è un divisore del primo.
Proprietà della divisione
La divisione non gode delle proprietà commutativa e associativa dell’addizione; l’\(1\) si può ammettere come elemento neutro della divisione solo parzialmente: infatti
\( a : 1 = a \)
ma non si può dire nulla della quantità
\( 1 : a \)
(a meno che \( a = 1 \): in tal caso \( 1 : a = 1 \)).
Tuttavia, la divisione gode della proprietà invariantiva:
Il quoziente tra due numeri non cambia se si moltiplica o si divide ognuno di esse per uno stesso numero
\( a : b = (a \cdot c) : (b \cdot c) \)
\(a : b = (a : c) : (b : c) \)
La moltiplicazione e la divisione sono operazioni inverse
\( a \cdot b = c \)
\( c : b = a \) e \( c : a = b \)
La proprietà distributiva
Esiste un’ulteriore proprietà che lega fra loro le quattro operazioni fondamentali: è la proprietà distributiva.
Proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione | \( a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c \)
\( (a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c \) |
Proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto alla sottrazione | \( a \cdot (b – c) = a \cdot b – a \cdot c \)
\( (a – b) \cdot c = a \cdot c – b \cdot c \) |
Proprietà distributiva della divisone rispetto all’addizione | \( (a + b) : c = (a : c) + (b : c) \) |
Proprietà distributiva della divisone rispetto alla sottrazione | \( (a – b) : c = (a : c) – (b : c ) \) |
L’insieme \( \mathbb{N} \) è un insieme ordinato
Definizione Un insieme si dice ordinato se presi due qualunque suoi elementi è sempre possibile stabilire se essi sono uguali oppure quale di essi è il maggiore e quale il minore.
Approfondimento
Per approndire il concetto di insieme ordinato e quello di relazione d’ordine consulta:
https://it.wikipedia.org/wiki/Relazione_d%27ordine
Videolezione sui numeri naturali