Introduzione alla relatività : 4 relatività  generale

K

K 1

0

Amadori-Lussardi Introduzione alla teoria della relatività

Relatività generale 81

=

0

x̄ cτ τ

In un sistema galileiano vale , dove la variabile indica il tempo reale fisico,

(dx ) =

0 2 2 2

g c dτ

detto tempo proprio, per cui la (4.5) diventa da cui si ricava

00

infine 1 √

= 0

dτ g dx . (4.6)

00 !

c K 0

x

Questa è la formula cercata che lega la coordinata temporale con il tempo

4

proprio. Si noti subito che, perché un sistema di coordinate di abbia senso

E

0.

g >

fisico, occorre che si abbia Se questo non si verifica per un certo sistema

00 K

di coordinate, si potrà sempre, con una opportuna trasformazione, ottenere che

0

x

tale condizione sia soddisfatta. Il significato fisico del fatto che il tempo non

corrisponde in generale al tempo proprio può essere chiarito nel seguente modo.

A B

Prendiamo i punti spaziali e e poniamo in essi due orologi ideali come in

!

figura 4.5: fisicamente potrebbero essere due orologi atomici perché il loro scandire

v

il tempo praticamente non risente della gravità. I due orologi segnano il tempo

A B

proprio dei due punti spaziali e indipendentemente l’uno dall’altro. Secondo

1

x

B

A 0 ∆x 0

0 x

A B.

Figura 4.5: Orologi nei punti spaziali e

6

g

la (4.6), poiché dipende in generale da tutte le coordinate, risulta chiaro che

00 ∆x 0 A

un medesimo intervallo corrisponde a diversi intervalli di tempo proprio in

B.

e In linea di principio, in RG, si suppone che ogni punto spaziale sia dotato di

uno specifico orologio ideale che segni il tempo proprio di quel punto.

4.3.4 Eventi collegati da un raggio di luce

= (x ) = (x + + +

0 1 2 3 0 0 1 1 2

P , x , x , x Q dx , x dx , x

Consideriamo gli eventi e

+ )

2 3 3 4

dx , x dx di supponendo che siano collegati da un raggio di luce. Questo

E

P Q.

significa che da parte un raggio di luce che poi raggiunge Se introduciamo un

(x̄ )

0 1 2 3

P , x̄ , x̄ , x̄

sistema localmente galileiano con centro in , dotato delle coordinate

Amadori-Lussardi Introduzione alla teoria della relatività

82 Capitolo 4

(0)

g

e dell’usale metrica , possiamo scrivere

ij (0)

= =

2 i j i j

ds g dx dx g dx̄ dx̄ .

ij ij

D’altra parte, dalla RR sappiamo che in un sistema galileiano per due eventi

∆s = 0, ∆

collegati da un raggio di luce si ha dove indica una variazione finita.

Possiamo perciò affermare che due eventi infinitamente vicini collegati da un raggio

= 0.

ds

di luce forniscono sempre, per ogni sistema di coordinate, Questo risultato

di grande importanza rappresenta una logica generalizzazione di ciò che avviene in

RR.

4.3.5 Intervallo spaziale

La distanza spaziale reale (fisica) fra due eventi infinitamente vicini potrebbe

essere calcolata, in analogia con quanto fatto per ricavare l’intervallo di tempo

= 0, (x ) (x +

0 0 1 2 3 0 1

dx , x , x , x , x

proprio, ponendo cioè considerando gli eventi e

+ + ).

1 2 2 3 3

dx , x dx , x dx Questo però non ha senso in RG a causa dell’arbitrarietà

0

x

di e deve essere usato il tempo proprio. Per calcolare l’intervallo spaziale reale,

fisico, fra due eventi useremo convenientemente la luce come illustrato nella figura

0 0

A B

4.6. Un raggio di luce parte dal punto , raggiunge il punto e viene riflesso

1

x !

B B

+

1 1

x dx A

1

x !!

A

!

A

0 0

0 x

x +

+ 02

0 01 dx

x dx

+

0 01

x dx

1

x

Figura 4.6: Intervallo spaziale.

!

B

00 0 00 B

+ A A A

1 1

pervenendo infine in . Naturalmente e sono eventi che avvengono in uno

x dx 0

A B

stesso punto spaziale in tempi diversi, mentre è un evento che avviene nel

B. A B

punto spaziale I punti spaziali e sono infinitamente vicini. Possiamo allora

A

1

x

scrivere !!! !!

A A

!

A

: = (dx ) + 2g + (dx ) = 0

0 0 2 01 2 01 1 1 2

A → B ds g dx dx g (4.7)

00 01 11

0 0

0 x

x +

+ 02

0 01 dx

x dx

+

0 01

x dx +

01 02

dx dx

+

0

x

∆x 2

0

Amadori-Lussardi Introduzione alla teoria della relatività

Relatività generale 83

: = (dx ) 2g + (dx ) = 0

0 00 2 02 2 02 1 1 2

B → A ds g − dx dx g (4.8)

00 01 11

1 √ (dx +

: = ).

0 00 01 02

g dx

A → A dτ (4.9)

00

c

Dalle (4.7) e (4.8) ricaviamo p

1 1 2 − g g

g

−g dx ± dx 00 11

01

= 01

01

dx (4.10)

g

00

e p

1 1 2

g − g g

g dx ± dx 00 11

01

= 01

02

dx (4.11)

g

00

da cui, scegliendo opportunamente i segni, si ottiene

2dx p

1 2

g − g g

00 11

+ = 01

0 0

dx dx .

1 2 g

00

Sostituendo, la (4.9) diventa 2dx p

1 2

g − g g

00 11

= 01

dτ .

√

c g

00 d`

A questo punto, definiamo ragionevolmente l’intervallo spaziale come

cdτ

=

d` 2

per cui otteniamo direttamente s 2

g − g g

00 11

= 1 01

d` dx g

00

da cui 2

g (dx )

= + 01

2 1 2 .

d` −g

11 g

00

Generalizzando in quattro dimensioni si ottiene

g g

0α 0β

= +

2 α β

d` −g dx dx .

αβ g

00

Questo è l’elemento di distanza spaziale cercato; d’ora in poi indicheremo con

(x ).

1 2 3

, x , x

lettere greche gli indici delle coordinate spaziali Se poniamo

g g

0α 0β

= +

γ −g

αβ αβ g

00

si ricava =

2 α β

d` γ dx dx . (4.12)

αβ

Amadori-Lussardi Introduzione alla teoria della relatività

84 Capitolo 4

γ

Il tensore simmetrico descrive la metrica dello spazio tridimensionale fisico e

αβ

per questo la forma quadratica (4.12) deve essere definita positiva. Questo, come

si sa, si verifica se e solo se γ γ γ

11 12 13

γ γ

11 12

0, 0, 0.

γ γ γ

γ > > >

21 22 23

11 γ γ

21 22 γ γ γ

31 32 33

Queste condizioni implicano poi che

g g g

00 01 02

g g

00 01 0, 0, det(g ) 0.

g g g

< > <

10 11 12 ij

g g

10 11 g g g

20 21 22 g

Ritroviamo così la nota condizione sul determinante di oltre a nuove condizioni

ij

che il tensore metrico deve soddisfare per aderire alla realtà fisica. Poiché in

0

g x

generale tutte le componenti di sono funzione della variabile temporale

ij

γ

(che è arbitraria), la metrica non può essere usata in linea di principio per

αβ

misurare lunghezze finite dello spazio, ma solo lunghezze infinitesime. Perché la

(4.12) possa essere usata per misurare lunghezze finite occorre in generale che le

0

g x

non dipendano da . In questo caso la metrica spaziale, non dipendendo dal

ij

tempo, ha senso su scala macroscopica.

4.3.6 Simultaneità

In meccanica classica si ipotizza un tempo universale unico per cui due eventi,

se avvengono nel medesimo istante, sono simultanei per tutti i SRI. In RR ogni SRI

ha il proprio tempo. Rispetto ad un SRI due eventi sono simultanei se avvengono

nello stesso istante segnato dall’orologio solidale con quel SRI. Per SRI diversi la

simultaneità è regolata dalle trasformazioni di Lorentz. Come abbiamo già visto,

due eventi che accadono simultaneamente in punti diversi di un dato SRI non sono

più simultanei se visti rispetto ad un altro SRI. In RG, invece, ogni punto spaziale

τ

ha il proprio tempo misurato da un orologio ideale posto in esso. La coordinata

0

x

temporale è arbitraria e la relazione fra tempo proprio e coordinata temporale è

definita dalla (4.6). In questo quadro, in RG il concetto di simultaneità è quindi

ancora più problematico e deve essere definito localmente. Anche qui usiamo un

raggio di luce per definire la simultaneità fra due eventi. Un raggio di luce parte

0 0 00

A B A

dal punto , giunge in e, riflesso, perviene in (figura 4.7). Consideriamo

000 0

A A x

nel punto spaziale l’evento il cui tempo è esattamente intermedio fra i

0 00

A A

tempi di e . Si ha allora +

0 02

dx dx

= +

000 1

0 1

A x ,x

2

(x + + ).

0 0 01 1 1

B dx , x dx

mentre le coordinate di sono date da Orbene, definia-

000 0 000 0

A B A B

mo simultanei gli eventi e . Le coordinate temporali di e sono

!!

A

!

A

0 0

0 x

x

Amadori-Lussardi Introduzione alla teoria della relatività +

+ 02

0 01 dx

x dx

Relatività generale 85

+

0 01

x dx

1

x !

B B

+

1 1

x dx A

1

x !!! !!

A A

!

A

0 0

0 x

x +

+ 02

0 01 dx

x dx

+

0 01

x dx +

01 02

dx dx

+

0

x

∆x 2

0

Figura 4.7: Eventi simultanei.

evidentemente in generale diverse. Definiamo la loro differenza come

+

01 02

dx dx

∆x =

0 01 .

dx − 2

Utilizzando le (4.10) e (4.11) ricaviamo per due dimensioni

1

g dx

01

∆x =

0 − g

00

che si generalizza in quattro dimensioni con α

g dx

0α

∆x =

0 − .

g

7 00

Da questa formula risulta chiaro che eventi simultanei in generale non hanno la

0

x

stessa coordinata temporale . Questo fatto può costituire un grosso problema che

però può essere evitato scegliendo sistemi di coordinate, e questa scelta è sempre

= 0.

g

possibile con una opportuna trasformazione, per cui valga identicamente 0α

∆x = 0

0 0

x

Per tali sistemi si ha per cui tutti gli eventi con lo stesso valore di sono

0

x

simultanei. In questo modo la coordinata assume un maggiore significato fisico.

I sistemi per cui il tensore metrico assume la forma

0 0 0

 

g

00

0 g g g

11 12 13

=  

g 0

ij  

g g g

21 22 23

 

0 g g g

31 32 33

Amadori-Lussardi Introduzione alla teoria della relatività

86 Capitolo 4 = 0,

g

sono quindi da prediligersi. Mostriamo, nel caso in cui sia con l’aiuto

0α

A, B, C, D, . . .

della figura 4.8 come si caratterizzano eventi simultanei dove sono

1

x !!!

D

D !!!

! !!

C

C C

C !!

!!!

! B

B

B

B ! !!! !!

A A A

A 0 0

x

1

x

Figura 4.8: Caratterizzazione eventi simultanei.

∆τ !!

B B

!

B

B

punti spaziali infinitamente vicini e gli eventi simultanei che avvengono nell’istante

000 000 000 000

0

x A , B , C , D , . . .

sono evidentemente . Consideriamo, in un sistema per cui

= 0, 0 00 0 00

g A , A , B , B

gli eventi non infinitamente vicini, né nello spazio né nel

0α 0 0

A B

tempo, rappresentati dalla figura 4.9. Gli eventi e sono simultanei così come

A 00 00

A B !!

lo sono gli eventi e . A causa della (4.6), però, gli intervalli di tempo proprio

∆τ

! A

A A

∆τ ∆τ

e sono in generale diversi. L’intervallo di tempo proprio fra due eventi

A B

che avvengono nello stesso punto spaziale è in generale diverso dall’intervallo di

0

tempo proprio fra due eventi simultanei ai precedenti che avvengono in un altro

0

01 x

x 02

x

punto spaziale.

4.3.7 Sistemi sincroni = 1 = 0

4 g g

Un sistema di coordinate di per cui valga e si dice sincrono.

E 00 0α

In questo caso si ha 1 0 0 0

 

0 g g g

11 12 13

=  

g 0

ij  

g g g

21 22 23

 

0 g g g

31 32 33

e = (dx )

2 0 2 α β

ds − γ dx dx

αβ

8

! !!! !!

A A A

A

Amadori-Lussardi Introduzione alla teoria della relatività

Relatività generale 87

0 0

x

1

x ∆τ !!

B B

!

B

B

A !!

∆τ

! A

A A

0 0

01 x

x 02

x

Figura 4.9: Eventi simultanei con intervalli di tempo proprio diverso.

1

= 0

dx

dτ

e, poiché qui vale , il tempo proprio coincide, a meno di costanti, col

c = =

0 0 2

x x ct, t τ ds

tempo per cui possiamo scrivere avendo posto . L’elemento

per i sistemi sincroni è quindi =

2 2 2 α β

ds c dt − γ dx dx .

αβ

I sistemi sincroni, proprio per il fatto che in essi tempo proprio e coordinata

0

x

temporale coincidono, rivestono un ruolo di grande importanza in RG.

4.3.8 Campi costanti 8

4 g

Se è dotato di un tensore metrico le cui componenti non dipendono dalla

E ij

0

x

coordinata temporale si dice che siamo in presenza di un campo gravitazionale

= 0,

0

x g

costante ed il tempo è chiamato universale. Se inoltre si ha il campo è

0α

= 0

g

detto statico. Un campo costante per cui non vale è detto stazionario.

0α

4.4 Moto in un campo gravitazionale

m g

Consideriamo una particella di massa posta in un campo gravitazionale .

ij

m

La massa sia piccola così da non influire sul campo gravitazionale dato. L’azione

per tale particella dovrà essere invariante per trasformazioni delle coordinate. Come

in RR essa dovrà essere Z

=

S −mc ds

AB

Amadori-Lussardi Introduzione alla teoria della relatività

88 Capitolo 4

4

A B

dove e sono due eventi di e l’integrazione è eseguita lungo una linea

E ds

d’universo che congiunge i suddetti punti (naturalmente, lungo tale linea, deve

essere di genere tempo). Il principio di minima azione per una particella è quindi

espresso dalla Z

= = 0.

δS δ ds

AB

Z ds

L’integrale è la lunghezza, nella data metrica, di una linea d’universo fra

AB

A B. A B,

gli eventi e La particella, nel suo moto nel campo gravitazionale fra e

percorrerà quindi una linea di lunghezza estremale. Una tale linea è una geodetica

4

di per cui le equazioni del moto della particella si riducono alle equazioni delle

E

geodetica 2 i k

j

d x dx

dx

+ Γ = 0, = 0, 1, 2, 3.

ijk i (4.13)

2

ds ds ds 2 i

d x

Γ = 0, = 0

ijk

Se allora si ottengono le equazioni che rappresentano le equazioni

2

ds

del moto di una particella libera in RR, come è giusto che sia.

Per quanto riguarda il moto della luce in un campo gravitazionale la (4.13) non

= 0

ds

può essere usata perché per la propagazione di un raggio di luce vale in

ogni suo punto. La luce percorre, come si dice, delle linee geodetiche nulle. Nel

g