Cultura

Gauss vs Mandelbrot

Supponiamo che a un gruppo di persone venga chiesto di rispondere alla seguente domanda: “prendendo un campione a caso di due americani che insieme guadagnano un milione di dollari all’anno, qual è la suddivisione più probabile del loro reddito?” Verosimilmente, la maggior parte degli intervistati risponderà dicendo che una ragionevole suddivisione si potrebbe ottenere da un valore medio, cioè mezzo milione di dollari ciascuno.

I più prudenti obietteranno che per rispondere in modo sensato a questa domanda bisognerebbe avere più informazioni sul contesto. Chi ha letto i libri di Nassim Nicholas Taleb risponderebbe facendo, a sua volta, la seguente domanda: “le due persone dell’esempio vivono in Mediocristan o in Estremistan?” Il Mediocristan e l’Estremistan sono due luoghi della mente. Con queste curiose espressioni Taleb fa riferimento ai due modi di interpretare la realtà, il primo dei quali è di tipo gaussiano e perciò tutto viene valutato in funzione della media o del mediocre, il secondo invece è scalabile o mandelbrotiano e quindi gli eventi estremi non sono episodi isolati e marginali, ma hanno una notevole importanza.

Nel libro Il Cigno nero punta a sottolineare come la tendenza a ragionare per valori medi sia un’incrostazione ormai consolidata del nostro modo di pensare; l’approccio gaussiano all’analisi degli eventi è una cattiva abitudine che ottunde la mente e crea l’illusione di poter controllare e governare le circostanze. Taleb addebita alla curva gaussiana due limiti, a suo dire, molto gravi: il primo è che la maggior parte delle osservazioni si aggira intorno alla media, il secondo è che le probabilità di una deviazione diminuiscono sempre più in fretta via via che ci si allontana da questa media.

Serviamoci dello stesso esempio che l’autore usa nel libro per dare sostanza alle sue argomentazioni. In tale esempio si fa riferimento alla statura. Si suppone che la statura media di una popolazione sia 1 metro e 67 centimetri e, considerando salti di 10 centimetri, si effettuano le seguenti osservazioni per valutarne le relative probabilità. Probabilità che un individuo sia:

  • 10 centimetri più alto della media (cioè più alto di 1,77 m): 1 su 6,3
  • 20 centimetri più alto della media (cioè più alto di 1,87 m): 1 su 44
  • 30 centimetri più alto della media (cioè più alto di 1,97 m): 1 su 740
  • 40 centimetri più alto della media (cioè più alto di 2,07 m): 1 su 32000
  • 50 centimetri più alto della media (cioè più alto di 2,17 m): 1 su 3500000
  • 60 centimetri più alto della media (cioè più alto di 2,27 m): 1 su 1000000000
  • 70 centimetri più alto della media (cioè più alto di 2,37 m): 1 su 780000000000
  • 80 centimetri più alto della media (cioè più alto di 2,47 m): 1 su 1600000000000000
  • 90 centimetri più alto della media (cioè più alto di 2,57 m): 1 su 8900000000000000000

Lo scopo di questo esempio è di evidenziare l’accelerazione. Taleb ci invita a soffermarci sulla differenza di probabilità tra 60 e 70 centimetri sopra la media: per un semplice aumento di 10 centimetri passiamo da una persona su un miliardo a una persona su 780 miliardi. Per un altro semplice aumento di 10 centimetri, fra 70 e 80 centimetri, si passa da un individuo su 780 miliardi a uno su 1,6 milioni di miliardi.

A causa di questa velocissima diminuzione delle probabilità, sottolinea l’autore, la gaussiana ci ha abituato a ignorare gli eventi isolati ritenendoli così scarsamente probabili da pensarli quasi come eventi impossibili.

Come contro esempio, viene proposto il calcolo delle probabilità relativo all’essere ricco in Europa, attraverso un approccio scalabile o mandelbrotiano.

Probabilità che un individuo abbia un patrimonio netto:

  • superiore a 1 milione di euro: 1 su 62,5
  • superiore a 2 milioni di euro: 1 su 250
  • superiore a 4 milioni di euro: 1 su 1000
  • superiore a 8 milioni di euro: 1 su 4000
  • superiore a 16 milioni di euro: 1 su 16000
  • superiore a 32 milioni di euro: 1 su 64000
  • superiore a 320 milioni di euro: 1 su 6400000

La velocità con cui le probabilità diminuiscono resta costante e non ha quell’accelerazione vista nel calcolo gaussiano.

I due metodi di valutazione degli eventi hanno paradigmi diversi. Quello gaussiano fornisce uno scenario che porta a pensare che, una volta determinati i valori medi di un fenomeno, le osservazioni estreme possono essere trascurate perché da considerare eventi isolati di scarsissima importanza; quello mandelbrotiano, invece, invita a un approccio più cauto che non porta a escludere il manifestarsi degli eventi in maniera drastica e frettolosa.

Le critiche di Taleb all’approccio gaussiano vengono alimentate, pagina dopo pagina, da numerosi esempi in cui l’autore evidenzia tutte le crepe di questo modo di fare statistica. L’elenco degli eventi che, in ambito economico, sociale, politico e anche scientifico, non è stato possibile prevedere è impietoso e finisce con l’avvalorare la tesi dell’autore: il caso è un elemento imprescindibile e determinante dell’esistenza; siamo tutti abituati a pensare ai cigni come eleganti animali dal piumaggio bianco, ma il cigno nero esiste e il suo manifestarsi, imprevisto e inaspettato, è dirompente.

Domenico Signorelli

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Commenti   

 
0 #1 andrea 2014-04-01 15:06
Bellissimo libro peccato per l'inulile lentezza e ripetitivita'.. .in pieno stile saggio americano! Consigliatissim o!!!
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