Che cos'è la probabilità
Il concetto di probabilità, di derivazione matematica, è diventato con il passare del tempo fondamentale in altre discipline: per comprenderne l'importanza, basta pensare al suo utilizzo in campo statistico.Tale disciplina si basa sull'osservazione dei fenomeni e sulla valutazione della possibilità che questi possano ripetersi. Un insieme di risultati associati a una probabilità prende il nome di evento.
A seconda di quanto sono probabili, gli eventi possono essere classificati in:
- evento certo, cui probabilità è praticamente unitaria. Un evento certo potrebbe essere "lanciando una moneta ottieni o testa o croce"
- evento impossibile, ossia che non si verificherà mai. E' un evento impossibile, ad esempio "ottieni 8 dal lancio di un dado"
- evento aleatorio, cioè tutti gli eventi cui probabilità non è unitaria né nulla. "ottieni il numero 3 dal lancio di un dado" è un evento aleatorio
Per calcolare la probabilità che un evento accada è necessario fare un rapporto, in particolare tra il numero di casi favorevoli (chiamato anche cardinalità) e il numero di casi possibili. Prendiamo come esempio l'evento aleatorio precedentemente introdotto, cioè "Ottieni il numero 3 dal lancio di un dado".
In questo caso la cardinalità è 1, poiché il numero 3 compare su una sola faccia del dado, mentre il numero di casi possibili ammonta a 6. Per calcolare la probabilità che l'evento "Ottieni il numero 3 dal lancio di un dado" accada, bisogna quindi fare questo rapporto
[math]\frac{1}{6}[/math]
.
Che cos'è la probabilità condizionata
La probabilità condizionata esprime la probabilità che un certo evento accada a seguito di un altro. Il primo prende il nome di evento condizionato, mentre il secondo viene definito evento condizionante.Supponiamo che
[math]A[/math]
sia l'evento condizionato e [math]B[/math]
l'evento condizionante.
L'aggettivo "condizionata" allude proprio alla dipendenza in termini di probabilità che lega il secondo evento al primo.
La formula della probabilità condizionata è la seguente
[math]\frac{P(A\cup B){P(B)}[/math]
, in cui [math]P(A\cup B)[/math]
è la probabilità dell'intersezione tra i due eventi, cioè l'evento cui punti campionari appartengono sia ad [math]A[/math]
che a [math]B[/math]
, e [math]P(B)[/math]
è la probabilità legata all'evento [math]B[/math]
.
Il teorema di Bayes: enunciato ed esempio
Il calcolo della probabilità si fonda su un insieme di teoremi: uno dei più importanti è il teorema di Bayes. Il teorema di Bayes consente di valutare la probabilità condizionata che un evento accada rispetto a un altro.La formula su cui si basa tale teorema è la seguente
[math]P(B|A)=\frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}[/math]
. Le quantità al numeratore esprimono rispettivamente la probabilità condizionata che B accada conosciuto A e la probabilità marginale (cioè non condizionata) dell'evento A. Al denominatore, invece, vi è la probabilità non condizionata dell'evento B.
Esempio svolto sul calcolo della probabilità
Tre urne contengono[math]10[/math]
palline ciascuna. Le palline nell'urna [math]A[/math]
sono contrassegnate da numeri che vanno dall'[math]1[/math]
al [math]10[/math]
, quelle nell'urna [math]B[/math]
con i numeri che vanno dal [math]4[/math]
al [math]13[/math]
, mentre quelle nell'urna [math]C[/math]
sono numerate dal [math]6[/math]
al [math]15[/math]
.Si sceglie un'urna a caso (tra di loro equiprobabili) e si estrae una pallina. Sia
[math]X[/math]
la variabile aleatoria discreta corrispondente al numero stampato sulla pallina estratta.- Calcolare [math]P(X = 10)[/math], cioè la probabilità che il numero estratto sia[math]10[/math]
- Calcolare [math]P(11 \le X \le 13)[/math], cioè la probabilità che il numero estratto sia compreso fra[math]11[/math]e[math]13[/math]
- Calcolare la probabilità che si sia scelta l'urna A, sapendo che l'esito dell'estrazione è stato [math]X=5[/math]
Indicando con
[math]{A}[/math]
, [math]{B}[/math]
, [math]{C}[/math]
, gli eventi "è stata scelta l'urna A/B/C", rispettivamente, risulta[math]P(X=10) = P({A} \cap {X=10}) + P({B} \cap {X=10}) + P({C} \cap {X=10}) = P({X=10} | {A}) P(A) + P({X=10} | {B}) P(B) + P({X=10} | {C}) P(C) =[/math]
[math]=\frac{1}{10} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{10} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{10} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{10}[/math]
[math]P(11 \le X \le 13) = P({11 \le X \le 13} \cap {A}) + P({11 \le X \le 13} \cap {B}) + P({11 \le X \le 13} \cap {C})
[/math]
[/math]
L'urna
[math]A[/math]
non contiene palline con un numero compreso fra [math]11[/math]
e [math]13[/math]
, quindi [math]P({11 \le X \le 13} \cap {A}) = 0[/math]
, di conseguenza [math]P(11 \le X \le 13) = P({11 \le X \le 13} | {B})P(B) + P({11 \le X \le 13} | {C})P(C) = \frac{3}{10} \cdot \frac{1}{3} + \frac{3}{10} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{5}[/math]
[math]P({A} | {X=5}) = \frac{P({X=5} \cap {A})}{P(X=5)} = \frac{P({X=5} | {A}) P(A)}{P({X=5} | {A}) P(A) + P({X=5} | {B}) P(B) + P({X=5} | {C}) P(C)}[/math]
Considerando che l'urna
[math]C[/math]
non contiene palline numerate con [math]5[/math]
la (1) diventa [math]P({A} | {X=5}) = \frac{\frac{1}{10} \cdot \frac{1}{3}}{\frac{1}{10} \cdot \frac{1}{3} + \frac{1}{10} \cdot \frac{1}{3}} = \frac{1}{2}[/math]
Per ulteriori approfondimenti sulla probabilità condizionata vedi anche qui
