L'interrogativo di fondo, che il matematico dell'Università di Tor Vergata si chiede, è proprio quello della funzione della nuova scuola di massa. La tesi è che la vecchia scuola si rivolgeva ai membri delle classi più elevate e preparava dirigenti e tecnici di alto livello, generando una differenza sociale tra semplici operai e dirigenti, pubblici o privati, che costituiva la motivazione di fondo dell'impegno scolastico. Man mano che il bisogno di tecnici e dirigenti è venuto meno, anche a causa dell'accentramento del potere e delle competenze in poche persone, la scuola ha perso la sua funzione tradizionale, rendendone inevitabile la trasformazione in scuola di massa.
Come sostiene il prof. Russo, “le continue ondate di innovazione tecnologica, che immettono nel mercato prodotti sempre nuovi, spesso basati su tecnologie raffinate, richiedono in compenso masse di consumatori 'evoluti', attenti cioè alle novità, capaci di mutare continuamente le abitudini di consumo, abbastanza 'colti' per recepire rapidamente i messaggi pubblicitari e leggere manuali di istruzioni,… In definitiva la nuova produzione, concentrata e automatizzata, richiede più conoscenze ai suoi clienti che ai suoi dipendenti.”
La grande maggioranza degli studenti finirà semplicemente con l'assumere l'uno o l'altro degli infiniti ruoli di mediazione tra produzione e consumo nati per alimentare il mercato. Le capacità e le competenze per tali ruoli sono minime e diminuiscono di anno in anno.
La società del consumo ha bisogno di una scuola che prepari consumatori, i quali possono ignorare i processi produttivi e devono concentrarsi sui processi del consumo.
Per ciò che attiene più strettamente l'insegnamento della matematica, il libro di Russo interessa ai docenti soprattutto per l'analisi dell'insegnamento della geometria. Di questa analisi preferiamo riportare passaggi integrali del libro.
La geometria euclidea ha svolto una funzione esssenziale nell'insegnamento scientifico per il suo uso del metodo dimostrativo, cioè perché consiste in "teoremi", ma anche e soprattutto per l'evidenza della sua natura di "modello" di situazioni concrete facilmente rappresentabili. È evidente infatti che i punti, i segmenti, i triangoli e gli altri enti di cui si occupa un manuale di geometria non sono oggetti concreti, ma è altrettanto evidente che la possibilità di disegnare delle figure concrete, che "approssimano" quelle ideali oggetto della matematica, fornisce un grande aiuto all'intuizione e una chiave essenziale per le applicazioni della teoria. Studiando la geometria euclidea ci si abitua quindi (è questo il punto essenziale!) a usare "enti teorici", analizzabili con rigore, per descrivere utilmente oggetti concreti, senza confondere gli uni con gli altri.
Nel secondo dopoguerra l'insegnamento della geometria razionale entrò in crisi sotto l'azione di un duplice attacco. Molti sostennero che il metodo dimostrativo fosse troppo difficile per i ragazzi delle scuole secondarie, che rischiavano di memorizzare inutilmente discorsi astratti senza comprendere completamente la "verità fisica" delle affermazioni dimostrate. Questi critici suggerirono di limitarsi a verifiche empiriche, studiando la "matematica pratica". Ad esempio, invece di dimostrare sulla base dei postulati euclidei che in un triangolo ogni lato è più corto della somma degli altri due, ci si può limitare a dare ai ragazzi dei bastoncini e far loro verificare che se un bastoncino è più lungo della somma degli altri due non è possibile "chiudere" un triangolo. La seconda critica fu di segno opposto e venne da chi accusava la geometria classica di essere troppo legata alle percezioni visive e tattili, trascurando in particolare quei sistemi di postulati alternativi a quello classico introdotti dalle geometrie non euclidee. Si sostenne che nella scuola fosse meglio rinunziare all'intuizione visiva, insegnando a effettuare deduzioni formali all'interno di teorie astratte molto generali.
La prima direzione fu la più seguita nei paesi anglosassoni, dove si rinunziò quasi ovunque a insegnare nelle scuole secondarie il metodo dimostrativo. La seconda direzione fu invece propugnata in particolare dal gruppo di matematici francesi che si raccolse sotto lo pseudonimo di Nicolas Bourbaki e si impose rapidamente in Francia. È rimasta famosa l'invettiva "abbasso Euclide!" di uno dei principali animatori del gruppo, Jean Dieudonné, che divenne quasi uno slogan della nuova didattica.
In ambedue i casi, rinunziando a uno dei due elementi essenziali, veniva disgregato nell'insegnamento scolastico quel doppio binario astratto-concreto che aveva costituito l'essenza della scienza esatta sin dalla sua nascita.
In Italia, che è stata la patria di una scuola di geometria di grande valore, tenutasi saldamente nella tradizione classica, l'insegnamento della geometria razionale è sopravvissuto finora. Nella formulazione dei programmi e nella tradizione manualistica vi sono stati però vari ondeggiamenti, prima nella direzione “bourbakista” e più recentemente, quando il vento americano ha cominciato a prevalere anche in matematica su quello francese, nella direzione opposta. L'ondata bourbakista provocò per la verità in Italia pochi danni, essendo arrivata ritardata e smorzata; si trattò solo di un'infatuazione superficiale di "insiemistica" e si ridusse nella maggior parte dei casi a premettere ai manuali un capitoletto di teoria degli insiemi, poco letto e con scarse relazioni con il resto del programma.
La tendenza attuale sembra molto più pericolosa, consistendo in una lenta disgregazione del metodo ipotetico-deduttivo attuata, con vari sistemi, nell'ambito di una concezione eclettica che evita scelte nette. Volendo sintetizzare si può dire che l'insegnamento della geometria razionale si trova oggi in Italia in uno stato di pre-liquidazione. Può sembrare una questione poco rilevante in sé, ma bisognerebbe essere consapevoli che, in mancanza di plausibili alternative, con la geometria razionale sarebbe espulso dalla scuola secondaria (come è già avvenuto negli Stati Uniti e in molti altri paesi) il concetto di dimostrazione e quindi uno dei cardini della tradizione scientifica. 
Per chi fosse interessato alla questione inserisco una breve digressione tecnica, con un esempio che mi sembra particolarmente importante.
Nei "programmi Brocca" per il biennio dell'indirizzo scientifico (usati da diversi anni in molte scuole) sono inclusi, tra gli altri, i seguenti tre argomenti:
- piano euclideo e sue trasformazioni isometriche
- piano cartesiano, retta, parabola, iperbole equilatera
- introduzione intuitiva dei numeri reali.
Nel "commento ai singoli temi" è poi scritto che, nello studio della geometria, "è [...] necessario che ogni ipotesi o ammissione cui si fa ricorso sia chiaramente riconosciuta e formulata in modo esplicito”.
Si riconosce quindi l'importanza del metodo ipotetico-deduttivo, ovvero dimostrativo, in geometria, escludendo presentazioni puramente "intuitive" dei suoi temi. I numeri reali debbono invece essere presentati solo in modo "intuitivo" (l'argomento non viene infatti più ripreso dopo L'introduzione intuitiva"). Dobbiamo dedurne che mentre la geometria deve essere studiata con il metodo ipotetico-deduttivo, lo stesso metodo deve essere evitato nel caso dei numeri reali. I numeri reali sono però purtroppo essenziali per definire il "piano cartesiano" (che non è altro che l'insieme delle coppie ordinate di numeri reali). Gli studenti dovranno quindi usare contemporaneamente due enti teorici con lo stesso nome di "piano": l'uno, erede della tradizione classica, è oggetto di una scienza dimostrativa; l'altro deve invece essere usato per esercizi numerici all'interno di un quadro puramente "intuitivo". Il risultato di questa impostazione eclettica (ben poco intuitiva) è facilmente descrivibile. Molti degli insegnanti, invece di alternare i due diversi concetti di "piano", preferiscono ridurre a dei brevi cenni lo studio del "piano euclideo", in quanto lo considerano sostanzialmente un doppione di quello cartesiano, che ha il vantaggio di prestarsi a una trattazione che oggi appare più semplice. Le dimostrazioni "analitiche" (effettuate nel "piano cartesiano" con l'ausilio dei numeri forniti dalle coordinate) permettono infatti di sostituire i ragionamenti con dei calcoli e, tra l'altro, sono le uniche richieste all'esame di maturità. Quanto al dettaglio che i numeri reali sono stati introdotti solo "intuitivamente", esso viene presto dimenticato come una pignoleria senza importanza. Il “numero reale” viene infatti considerato un'entità la cui esistenza è evidente proprio in quanto si tratta della coordinata di un punto del "piano euclideo" (o ascissa di un punto della "retta euclidea"). In questo modo invece di scegliere tra il metodo sintetico euclideo e quello analitico cartesiano si appoggia la geometria cartesiana a quella euclidea e viceversa, evitando la fatica di dover trattare quello che in ambedue i casi costituisce il fondamento di tutta la struttura: la teoria delle grandezze euclidee o, nell'altro linguaggio, quella dei numeri reali. La maggioranza degli attuali laureati in matematica non si è accorta del trucco neppure all'università.
I membri della commissione Brocca, credendo di bilanciare impostazioni alternative con compromessi eclettici, hanno di fatto eliminato uno dei capisaldi dell'insegnamento matematico, minando alla base il metodo ipotetico-deduttivo sia nell'insegnamento della geometria sia in quello dei numeri reali. Va detto tuttavia che in questo modo non hanno fatto altro che seguire un indirizzo largamente diffuso a livello internazionale.
Qualunque docente universitario di materie scientifiche con sufficiente anzianità ha verificato che il livello medio delle conoscenze matematiche di chi si iscrive all'università è crollato negli ultimi decenni. Neppure trent'anni fa la scuola secondaria italiana forniva una buona cultura matematica. Alcune idee fondamentali, come quella di dimostrazione, vi erano però in genere assorbite. Grazie all'antica geometria euclidea, allora studiata sistematicamente in tutti i licei, alcuni studenti più fortunati si esercitavano sin dall'età di quattordici anni a dimostrare teoremi; a tutti gli altri, che si limitavano a ripetere le dimostrazioni riportate sul manuale, diveniva se non altro familiare la natura del metodo dimostrativo. Inoltre gli studenti ricevevano (insieme a molta zavorra) alcune altre nozioni abbastanza chiare: si forniva loro, ad esempio, una complessa ma corretta definizione di numero reale. Oggi gli studenti si iscrivono anche a facoltà scientifiche ignorando spesso la differenza tra un postulato e un teorema e non conoscendo quasi mai una definizione di numero reale.
Il crollo delle conoscenze matematiche (che del resto, come vedremo, è un fenomeno generale del mondo occidentale) non è imputabile che in minima misura alla commissione Brocca. Tra le varie cause (quali l'abbassamento del livello della scuola dell'obbligo e il diffondersi di sperimentazioni in cui lo studio della matematica viene compresso a favore dell'informatica) un elemento particolarmente importante è stato la diffusione, in varie forme, della "matematica pratica" di cui abbiamo già parlato. Le sostituzioni di segmenti con bastoncini cominciano ad avere effetto, convincendo gli studenti dell'inutilità degli enti teorici. Ho rabbrividito ascoltando, da uno studente dell'Università "La Sapienza" di Roma, l'argomento che la geometria è falsa poiché non esistono veri segmenti, in quanto tutto ha uno spessore. L'argomento non mi è giunto nuovo: l'avevo già letto nelle opere di Sesto Empirico; allora la razionalità scientifica stava per essere abbandonata per una quindicina di secoli. Un grave indizio del crescente discredito verso il metodo dimostrativo è fornito dal gergo giornalistico, nel quale il termine "teorema" ha ormai assunto una forte connotazione dispregiativa.
È abbastanza buffo che i metodi della "matematica pratica" siano spesso presentati come particolarmente moderni. Può essere certo didatticamente utile mostrare mediante travasi di acqua colorata l'equivalenza tra il quadrato costruito sull'ipotenusa e l'unione dei quadrati costruiti sui cateti (come avviene, ad esempio, al museo della scienza di "La Villette" di Parigi o alla "Città della scienza" di Napoli), ma se si pensa di avere esaurito in questo modo l'argomento, rinunziando alla dimostrazione del teorema di Pitagora, non si fa altro che tornare al metodo usato dagli scribi paleo-babilonesi prima dell'introduzione del metodo dimostrativo, quando l'equivalenza tra il quadrato costruito sull'ipotenusa e i due quadrati costruiti sui cateti era appunto nota solo in base ad argomenti empirici.
