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Cultura Matematica curiosa Un giochino con le frazioni: la serie di Farey
| Un giochino con le frazioni: la serie di Farey | di Flavio Cimolin |
 Un semplice giochino con le frazioni che utilizza una proprietà matematica delle frazioni scoperta
dal geologo Farey nell’800.
Oggi giochiamo con le frazioni: prenderemo tutte quelle minori di 1 che contengano al loro interno tutti i numeri da 0 a n, ordineremo questo insieme in modo crescente, e lo chiameremo Fn. Vediamo che cosa accade con n=3. Le frazioni possibili sono: $0/1, 0/2, 0/3, 1/1, 1/2, 1/3, 2/2, 2/3, 3/3$ Nessuno avrebbe messo lo zero a denominatore, vero? Bene, adesso dobbiamo ordinarle e togliere quelle equivalenti (come ad esempio $1/1$, $2/2$ e $3/3$), ottenendo: $F3 = 0/1, 1/3, 1/2, 2/3, 1/1$ ra prendiamo qualunque terna di elementi consecutivi dalla serie, per esempio i tre centrali, e mostriamo una cosa “magica” che vale per tutte le serie costituite in questo modo e per qualsiasi terna di elementi consecutivi: $1/3 1/2 2/3$ a somma dei numeratori delle due frazioni esterne vale $1+2=3$, la somma dei denominatori delle stesse vale $3+3=6$. Se ora facciamo la divisione $3/6$ e semplifichiamo otteniamo $1/2$, cioè esattamente il termine centrale! Proviamo con un altro caso più complesso, non vorrei pensaste che stiamo bluffando. Per $n=6$ otteniamo la successione ordinata di frazioni seguenti: $F6 = 0/1, 1/6, 1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5, 5/6, 1/1$ Prendiamo ad esempio i tre termini consecutivi $3/5, 2/3, 3/4$ e proviamo a fare la verifica. Per i numeratori abbiamo $3+3=6$. Per i denominatori abbiamo $5+4=9$. $6$ diviso $9$ si semplifica in… $2/3$! Funziona sempre, provate con il valore di n che volete! Questa bellissima proprietà matematica delle frazioni è stata scoperta da Farey, un geologo inglese dell’800, e le serie Fn prendono appunto il nome di Serie di Farey, e hanno anche tante altre proprietà notevoli oltre a quella qui presentata. Per approfondimenti, potrete trovare la dimostrazione della proprietà descritta, così come molte altre caratteristiche della serie sul sito (in inglese): http://www.cut-the-knot.org/blue/Farey.shtml
Scritto da , il 25-10-2010 12:21 nel caso si sospettasse di aver individuato tale successione da qulche parte conoscere questa proprietà potrebbe essere utile per ircostruire dei dati per esempio...interessante :) Scritto da , il 13-07-2008 14:30 La proprietà matematica di questo Farey per me è più o meno un rompicapo!!! Scritto da , il 24-04-2008 17:31 Dimostri di essere un grande ricercatore. Complimenti ed auguri vivissimi Scrivi Commento
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