Matematicamente

Il problema del rapporto tra volume della sfera e volume del cilindro circoscritto alla sfera è ritornato di attualità da quando nell'esame di stato per la maturità scientifica PNI del 2001 è stato chiesto di "Provare che una sfera è equivalente ai 2/3 del cilindro circoscritto." Chi conosce un po' di storia della matematica si ricorderà della famosa tomba di Archimede sulla quale lo scienziato siracusano aveva voluto che si scolpisse una sfera e un cilindro.

Il problema del rapporto tra volume della sfera e volume del cilindro circoscritto alla sfera è ritornato di attualità da quando nell'esame di stato per la maturità scientifica PNI del 2001 è stato chiesto di "Provare che una sfera è equivalente ai 2/3 del cilindro circoscritto." Chi conosce un po' di storia della matematica si ricorderà della famosa tomba di Archimede sulla quale lo scienziato siracusano aveva voluto che si scolpisse una sfera e un cilindro.

Quando ero questore in Sicilia mi misi a cercare la sua tomba invasa dalle erbe e dagli sterpi, che i siracusani non conoscevano e anzi negavano che esistesse. Avevo infatti sentito parlare di alcuni versi incisi sulla tomba che spiegavano perché essa fosse sormontata da una sfera e da un cilindro. Fuori da Porta Agrigentina c'è un gran numero di sepolture, e a forza di cercare e di guardare notai finalmente una piccola colona che a pena superava la boscaglia di sterpi, e su di essa erano raffigurati una sfera e un cilindro. Marco Tullio Cicerone Tusculanae Disputationes, V, 23

Archimede ha scritto diversi trattati di geometria, dedicandosi in particolare allo studio dell'area e del volume di alcune forme geometriche. Una delle sue opere più celebri è appunto "Sulla sfera e sul cilindro". L'obiettivo del libro è quello di dimostrare che la sfera è equivalente ai 2/3 del cilindro ad essa circoscritto. Probabilmente, Archimede si era già fatta un'idea che il rapporto doveva essere proprio 2/3. Nella "Misura del cerchio" aveva già dimostrato che la superficie del cerchio è equivalente a quella del triangolo rettangolo avente come cateti la circonferenza rettificata e il raggio (in termini moderni, $C=1/2 *2* \pi*r*r= \pi*r^2$). Da ciò aveva probabilmente congetturato che il volume della sfera è equivalente a quella del cono avente per cerchio di base la superficie della sfera stessa e per altezza il raggio della sfera ($V_s = 1/3 *S_s*r=4/3 \pi*r^3$).

L'intuizione è corretta ma da qui a dimostrarla occorre un notevole apparato di postulati e proposizioni: un intero libro. Vediamo i passaggi principali.

Nel cerchio si inscrive un poligono di 4n lati

Ruotando la figura, il cerchio forma una sfera, il poligono forma un certo numero di coni e tronchi di cono. Aumentando il numero di lati, il poligono approssima il cerchio, i solidi approssimano la sfera.

 Per sommare coni e tronchi di cono (S1+S2+S3+... ) Archimede ha un'idea brillante. Tutti i solidi che compongono il solido approssimante sono equivalenti a coni aventi tutti la stessa altezza. Più precisamente, i coni hanno per superficie di base la superficie del solido e altezza ($h$ ) la distanza del lato ($l$ ) del poligono dal centro della sfera (Prop. XXIII , Prop. XXIV ) Il problema viene spostato al calcolo della somma delle superfici di $S1, S2, S3, ...$ Archimede dimostra che ciascuna superficie Si è equivalente alla superficie di un cerchio il cui raggio è medio proporzionale tra il lato del poligono l e un segmento Li tale che la somma di tutti gli Li corrisponde alla somma delle corde $c1+c2+c3+...$ (Prop XXXII ). In un linguaggio algebrico più moderno e facendo uso del numero PIGRECO

$S1+S2+S3+... = \pi*l*(L1+L2+L3+...) = \pi*l*(c1+c2+c3+...)

Il problema di sommare le corde $c1+c2+c3+...$ viene risolto dimostrando che $l*(c1+c2+c3+...)=d*A$ dove $d$ è il diametro del cerchio e $A$ è la retta che sottende la metà meno uno dei lati del poligono.

All'aumentare del numero dei lati del poligono, d ed A tendono a coincidere, la superficie del solido approssimante si avvicina sempre di più alla superficie della sfera:

$S1+S2+S3+... = \pi*d*A = \pi*d*d=4*\pi*r^2$ 

Il volume della sfera è quindi equivalente al volume del cono avente per base la superficie della sfera e altezza il raggio della sfera (Prop. XXV):

$Vs=1/3 *Sc*r = 1/3 *4*\pi*r^2*r=4/3 \pir^3$ 

Per questo obiettivo manca ancora il risultato per il quale la superficie della sfera è uguale a quattro cerchi massimi (Prop. XI ). Dimostrato anche questo è facile concludere che la sfera è il doppio del cono avente avente per altezza il diametro della sfera e per base il cerchio massimo della sfera (Prop. XXVI ) e infine che la sfera è equivalente ai 2/3 del cilindro ad essa circoscritto. Lo storico C. Boyer ricostruisce una dimostrazione più immediata del teorema ricorrendo a una relaione di equilibrio scoperta dallo stesso Archimede.

AQDCBP è la sezione trasversale di una sfera di centro O e diametro AC. AUV è la sezione di un cono circolare retto con asse AC, diametro di base UV (doppio del diametro XY della sfera). IJVU la sezione di un cilindro circolare retto con asse AC e diametro di base UV. Sia AH=AC. Si taglia la figura con un piano perpendicolare ad AC, in un punto S qualsiasi. Questo piano taglia sfera, cono e cilindro in cerchi i cui raggi sono SR (cono), SP (sfera), SN (cilindro). Si indicano con A1, A2, A3 le aree di questi cerchi. Archimede dimostra che A1 e A2, posti con i loro centri in H, si equilibrano esattamente con A3, lasciato dov'è, con fulcro in A. Indicati con V1, V2, V3 i volumi della sfera, del cono e del cilindro, si ha che V1+V2=1/2 V3: infatti, tutte le parti di V1 e V3 sono fisse in H, il centro di equilibrio del cilindro è posto in O, AO=1/2 AH. Inoltre poiché è noto che V2=1/3 V3 (il volume del cono è 1/3 del volume del cilindro con stessa base e stessa altezza), V1=1/6 V3. Tenendo conto che il diametro di base del cilindro nel disegno è il doppio del diametro di base del cilindro circoscritto alla sfera, la superficie di base del primo è il quadruplo del secondo. Quindi V1=4/6 V3 = 2/3 V3.

Kline M., Storia del pensiero matematico, Einaudi, Torino, 1992, vol. I, pp. 126-127.

C. B. Boyer, Storia della matematica, Mondadori, Milano,1980, pp. 162-163.

P. D. Napolitani, Archimede, Le scienze (2001), collana "I grandi della scienza", pp. 36-39

http://www.mcs.drexel.edu/%7Ecrorres/Archimedes/contents.html

http://www.thewalters.org/archimedes/frame.html

http://www.maurolico.unipi.it/edizioni/archimed/sphaera/spha-001.htm

http://www2.unife.it/tesi/A.Montanari/Archimed.htm

http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/References/Archimedes.html

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