Matematicamente

Qualora nessuno se ne fosse ancora accorto, Richard Arenstorf, Professor Emeritus a Vanderbilt, ha pubblicato un manoscritto con una prova della congettura sui Primi Gemelli. Secondo tale congettura, esiste un infinito numero di interi positivi p tali che p e p+2 siano entrambi primi (un esempio di primi gemelli e' costituito da 17 e 19). E' ancora presto per dire se la pubblicazione contenga errori nascosti, tuttavia errori grossolani non sembrano esservene. L'approccio di base sembra molto interessante e rappresenta un avanzamento consistente in Teoria dei Numeri.

In breve:
Sia L(n) la funzione di VonMangoldt. Arenstorf considera la serie di Dirichlet

T(s) = sum(n > 3) L(n-1)L(n+1)n^-s per Re(s) > 1

e mostra che T(s) -B/(s-1) ha una continuazione analitica su Re(s) = 1. Cio' consente l'uso del teorema tauberiano che mostra che la somma log(p) log(p+2) --> infinito.
In tal modo e' possibile vedere che la densità dei primi gemelli (la costante B) corrisponde alla congettura di Hardy & Littlewood.

E' interessante notare che una parte chiave della (presunta) prova si basa sui risultati del recente lavoro di Goldston e Yildirimsugli sull'intervalli tra i primi - anche se la loro proposta prova di un risultato evidente sull'intervallo tra i primi si e' dimostrata fatalmente errata, ne è comunque risultato qualcosa di positivo.

L'approccio alla pubblicazione non e' sicuramente semplice, la Teoria dei Numeri e' un territorio difficile e pieno di trabocchetti, tuttavia la dimostrazione procede per passi relativamente standard: sembrerebbe che Arenstorf utilizzi metodi di Sieving sviluppati nel lontano 1960.

Per capire meglio il teorema di Wiener-Ikehara tauberiano utilizzato (ma non provato) a pagina 21 della pubblicazione, si può dare un'occhiata a "Introduction to Analytic Number Theory" di K. Chandrasekharan (Springer-Verlag, 1968) dove tale teorema viene utilizzato per provare il Teorema sui Numeri Primi. Lo sviluppo del teorema in Chandrasekharan e' come segue:

Teorema (Wiener-Ikehara). Sia A(x) una funzione non negativa e non decrescente di x, definita per 0<=x< infinito. L'integrale (da zero a infinito) di A(x)*e^(-xs) dx, s=sigma+it, converge per sigma>1 alla funzione f(s). Sia f(s) l'analitico per sigma>=1, tranne che per un polo semplice in s=1 con resto 1. In quel caso il limite per x che tende ad infinito di e^(-x)*A(x) risulta uguale ad 1.

Apparentemente Arensdorf usa questo stesso teorema con x sostituito dal suo u, mentre il resto ed il limite risulta uguale a B_2 anzichè' ad 1.

Edwards dà un'altra interessante descrizione del teorema tauberiano nel suo libro "Riemann's Zeta Function".

Secondo un intervento di Robert Silverman, che ha ufficiosamente dato un'occhiata alla dimostrazione attraverso un forum, la prova sembrerebbe corretta. Controllando la correttezza dei passaggi che da T(s) - B_2/(s-1) portano a continuare verso s = 1 il teorema segue subito dal teorema tauberiano.

Ciò che sorprende è che l'intera prova (Se si assume per scontato il teorema tauberiano) potrebbe essere svolta da uno studente di Teoria dei Numeri del primo anno.
La prova somiglia molto da vicino alla prova del teorema dei numeri primi ed il teorema di Dirichlet's Thm.

La pubblicazione si trova all'indirizzo

http://uk.arxiv.org/abs/math.NT/0405509

Altri link iinteressanti:
http://physicalsciences.ucsd.edu/news_articles/number_theory052404.htm

http://mathworld.wolfram.com/news/2004-04-12/primeprogressions/

http://www.vialattea.net/esperti/mat/primi2.htm

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