Dalla relatività ai buchi neri

Luca Rigovacca 5^ BST A.s. 2008/2009

DALLA RELATIVITA’

AI BUCHI NERI

Liceo Scientifico “G. B. Quadri”

SOMMARIO:

Introduzione 3

Posizione privilegiata dei sistemi di riferimento inerziali………………………... 3

Equivalenza tra i sistemi di riferimento inerziali: Relatività Ristretta…………… 3

Relatività Generale 4

Principio di Equivalenza………………………………………………………….. 4

Curvatura dello spaziotempo dovuta al campo gravitazionale………………….... 4

Coordinate gaussiane e completa equivalenza tra tutti i sistemi di riferimento …. 6

Redshift Gravitazionale………………………………………………………….. 7

Epistemologia Popperiana……………………………………………………….. 7

Esperimenti di controllo sulla Relatività Generale………………………………. 8

Buchi Neri 9

Velocità di fuga maggiore di quella della luce………………………………….... 9

Classificazione buchi neri in base alle dimensioni:

Supermassicci ……………………………………………………………. 9

Stellari …………………………………………………………………..... 9

Primordiali ……………………………………………………………….. 10

Evaporazione e Radiazioni di Hawking …………………………………………. 10

Metodi di ricerca …………………………………………………………………. 11

Cygnus X-1, il primo buco nero individuato …………………………………….. 11

Curiosità 12

Conseguenze del redshift gravitazionale in un buco nero ……………………….. 12

Buchi neri rotanti: ergosfera e wormhole …………………………………………13

Bibliografia 14

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Introduzione:

Posizione privilegiata dei sistemi di riferimento inerziali.

Per descrivere qualsiasi fenomeno fisico, abbiamo bisogno di un sistema di riferimento. Una

particolare categoria è quella dei sistemi inerziali, in cui vale il principio di inerzia. Esso afferma

che se un corpo non è soggetto a forze fisiche, rimane nel suo stato di quiete o di moto rettilineo

uniforme. Un sistema non inerziale è quindi un sistema associato ad un’accelerazione in cui

appaiono “forze apparenti”. Trovato un sistema inerziale, se ne possono definire infiniti altri purché

il moto relativo di ognuno di questi sistemi sia rettilineo uniforme. Se tutti i sistemi di riferimento

inerziali hanno moti relativi, ci si può chiedere quale è, fra tutti questi, quello che è in quiete

assoluta. Inizialmente si introdusse il concetto di Etere, quale mezzo trasparente, impalpabile e

legato alle stelle fisse. Un certo sistema di riferimento, in questo modo, risulta inerziale se si muove

di moto rettilineo uniforme rispetto all’etere. Il problema di questa ipotesi era l’impossibilità di

dimostrare l’effettiva esistenza di questa misteriosa sostanza. Questa spinosa questione divenne

ancora più pressante quando Maxwell completò il suo lavoro, mostrando come il campo

elettromagnetico si propaghi come un’onda, ipotizzando l’etere come mezzo oscillante.

Completa equivalenza dei sistemi di riferimento inerziali: Relatività Ristretta.

Nel 1887 il famoso esperimento di Michelson-Morley provò l’assenza di moto relativo tra la terra e

l’etere. Se questo e la Terra fossero stati in moto relativo, infatti, la luce avrebbe dovuto avere

velocità diverse nelle varie direzioni: tali variazioni di velocità non vennero mai rilevate. La

conseguenza finale è stata quella di eliminare definitivamente l’idea di etere, accettando la

propagazione nel vuoto delle radiazioni elettromagnetiche e l’assenza di un sistema di riferimento

assoluto. Sulla base di questo esperimento, Einstein enunciò quelli che diverranno i postulati della

relatività ristretta:

1. Le leggi della fisica hanno la stessa forma in tutti i sistemi di riferimento inerziali;

2. La velocità della luce nel vuoto ha lo stesso valore in tutti i sistemi di riferimento inerziali,

indipendentemente dalla velocità dell'osservatore o dalla velocità della sorgente di luce.

Con queste ipotesi vengono a cadere i concetti di spazio e tempo assoluto. Newton aveva detto: “Il

tempo assoluto, vero, matematico, in sé e per sua natura, senza relazione ad alcunché di esterno,

Questa concezione è ormai superata. Anche la simultaneità e le misure del

scorre uniformemente”.

tempo e delle lunghezze dipendono dall’osservatore e dal suo stato di moto. In questo modello

spazio e tempo si mescolano, formando lo spaziotempo.

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Relatività Generale:

Principio di Equivalenza.

Il principio di relatività ristretta era però ancora vincolato alla difficile definizione di un sistema di

riferimento inerziale. Einstein riuscì a togliere a questa particolare classe di sistemi di riferimento la

posizione di privilegio che era stata attribuita loro.

Già Galileo aveva notato che i corpi cadono con uguale accelerazione.

Dalla seconda legge della dinamica sappiamo che F = m a. La legge di gravitazione di Newton

x

i

afferma che la forza di attrazione esercitata da un corpo di massa M è: F = m H, dove H è

x

g

l’intensità del campo gravitazionale. Se a parità di H i corpi hanno tutti la stessa accelerazione,

significa che m /m è costante. Scegliendo opportunamente le unità di misura si può fare in modo

g i

che tale rapporto valga uno. Attualmente è stato verificato sperimentalmente che la massa inerziale

-13

coincide con la massa gravitazionale con un errore di circa 10 .

Questo fatto, noto come principio di equivalenza in forma debole, venne esteso da Einstein

attraverso un esperimento ideale. Si consideri una navicella spaziale (Einstein usava un ascensore),

al cui interno ci sia un laboratorio di fisica attrezzato per poter studiare il comportamento della

materia senza poter osservare lo spazio esterno. L’esperimento viene descritto in quattro fasi: nella

prima l’astronave viene posta in una regione dello spaziotempo priva di campi gravitazionali

(quindi lontana da qualsiasi corpo celeste) e lasciato andare con moto rettilineo uniforme. Il fisico

all’interno osserva che i corpi si muovono di moto rettilineo uniforme, non accelerano e galleggiano

a mezz’aria essendo in assenza di peso. Nella seconda fase vengono accesi i razzi dell’astronave,

accelerandola verso l’alto con accelerazione Tutti i corpi all’interno del laboratorio, allora, nel

a.

sistema di riferimento del fisico verranno visti accelerare verso il basso con la stessa accelerazione.

Nella terza fase l’astronave viene posta in un campo gravitazionale e lasciata andare in caduta

libera. Come abbiamo visto per il principio di equivalenza tutti i corpi cadono con la stessa

accelerazione, in particolare ciò vale anche per il fisico e gli oggetti che lo circondano. Gli oggetti

pertanto cadranno insieme a lui, dandogli l’impressione di galleggiare a mezz’aria come in assenza

di peso. Nella quarta ed ultima fase l’astronave viene tenuta ferma in un campo gravitazionale in cui

l’accelerazione di gravità ha lo stesso valore della seconda fase. Anche in questo momento lo

a

scienziato osserverà tutti i corpi venire attirati verso il basso con accelerazione Risulta quindi

a.

evidente che il fisico all’interno del suo laboratorio non è in grado di distinguere la prima situazione

dalla terza, come anche la seconda dalla quarta.

La conseguenza di questo esperimento è riassumibile dicendo che un campo gravitazionale è

localmente equivalente ad un sistema di riferimento non inerziale. Bisogna aggiungere localmente

perché il campo gravitazionale in punti molto lontani può accelerare i corpi lungo direzioni diverse.

Viceversa possiamo dire che un sistema di riferimento inerziale è equivalente ad un sistema in

caduta libera in un campo gravitazionale.

Curvatura dello spaziotempo dovuta al campo gravitazionale.

Se consideriamo un sistema di riferimento inerziale, un raggio di luce si propaga in linea retta con

velocità c. Rispetto ad un riferimento accelerato però, tale raggio verrà visto compiere un percorso

curvo. Siccome un moto accelerato corrisponde ad un campo gravitazionale possiamo dire che la

luce in un campo gravitazionale non si propaga in linea retta.

Questo fatto apparentemente sembra una contraddizione con la teoria di Maxwell, secondo la quale

la luce dovrebbe seguire sempre percorsi rettilinei. Chi ci assicura però che una “retta” nello spazio

fisico coincida con la retta della geometria euclidea?

Un segmento di una retta è il più breve cammino tra due punti. Nel caso di una superficie sferica, il

cammino più breve che unisce due punti, ovvero il corrispondente di una retta, risulta essere un arco

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di cerchio massimo. Potremmo quindi pensare che la presenza di un campo gravitazionale incurvi lo

spaziotempo a quattro dimensioni. La luce allora, pur continuando a seguire il percorso più breve

tra due punti, non compierà più un cammino rigorosamente rettilineo.

Cerchiamo di vedere come un campo gravitazionale modifichi lo spaziotempo.

Rallentamento del tempo:



Consideriamo la seguente situazione:

Per un osservatore inerziale O, esterno alla piattaforma rotante un orologio posto a distanza R dal

centro si muove con velocità v = w R e pertanto il suo ritmo risulterà rallentato di un fattore

2

v rispetto all’orologio di O (secondo le conclusioni della relatività ristretta). Soltanto

1 − 2

c

l’orologio posto al centro, che risulta in quiete rispetto a O, avanzerà con il suo stesso ritmo.

Consideriamo ora un osservatore O’ posto al centro della piattaforma. Egli vedrà gli altri orologi

della piattaforma andare più lentamente del suo, nonostante questi siano in quiete rispetto al lui. La

causa di questo ritardo è da ricercare nell’accelerazione centripeta a cui sono sottoposti tutti gli altri

orologi della piattaforma. Siccome un moto accelerato è equivalente ad un campo gravitazionale

possiamo concludere che il campo gravitazionale rallenta gli orologi.

Curvatura dello spazio:



Consideriamo ora un sistema di riferimento inerziale K ed un sistema di riferimento K' non inerziale

in rotazione uniforme rispetto a K. Consideriamo anche una circonferenza solidale con K:

Rispetto a K il rapporto fra la circonferenza in quiete ed il suo diametro è π. Rispetto a K' che ruota

in senso antiorario la circonferenza viene vista ruotare in senso orario. Ogni piccolo segmento della

circonferenza viene visto da K' muoversi con una certa velocità v. In un certo istante ogni piccolo

segmento di cui è formata la circonferenza viene visto contrarsi rispetto a K' secondo la legge della

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contrazione di Lorentz per cui il rapporto fra circonferenza e diametro è, rispetto a K', diverso da π

(il diametro non subisce la contrazione di Lorentz perché non si muove rispetto a K' nel senso della

sua lunghezza). Con questo semplice esempio si dimostra che lo spazio rispetto ad un sistema di

riferimento accelerato non è piatto ma è curvo, in quanto non valgono più le regole della geometria

euclidea. Poiché un campo gravitazionale è equivalente ad un sistema di riferimento accelerato, lo

spazio viene incurvato da un campo gravitazionale.

In realtà gli effetti di rallentamento del tempo e curvatura dello spazio sono due aspetti di un unico

fenomeno fisico: la curvatura dello spaziotempo dovuta al campo gravitazionale.

Coordinate gaussiane e completa equivalenza di tutti i sistemi di riferimento.

Un generico spazio curvo ha una proprietà molto importante che lo raccorda, per così dire, al più

familiare spazio piatto euclideo. Per quanto esso possa essere incurvato, è sempre possibile

considerarne una porzione nella quale esso sia praticamente piatto. In ogni spazio-tempo curvo è

dunque sempre possibile scegliere un sistema di coordinate curvilinee rispetto alle quali lo spazio-

tempo è localmente piatto ed inerziale. Sottolineiamo che questa proprietà vale solo localmente,

ovvero in una zona dove il campo gravitazionale si possa considerare costante nello spazio e nel

tempo.