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Tesina - Premio maturità 2009
Titolo: la legge e l'ordine matematico dell'universo
Autore: Giacomini Alessandro
Descrizione: tesina multitidisciplinare che mostra come vari ambiti abbiamo trovato una legge all'universo
Materie trattate: Matematica, Fisica, Italiano, Latino, Filosofia
Area: scientifica
Sommario: Matematica, La sezione aurea e il numero d'oro Fisica, le forze fondamentali, l'elettromagnetismo, le equazioni di Maxwell Italiano, Dante, 1 canto Paradiso Latino, Lucrezio, De rerum natura Filosofia, Comte
La legge e l’ordine
matematico
dell’universo
Giacomini Alessandro
Liceo scientifico “Leonardo Da Vinci” Treviso classe V B 2008/2009
la legge e l'ordine matematico
dell'universo
Nella letteratura Nella letteratura
In Matematica In Fisica Nella Filosofia
Italiana Latina
La sezione Le interazioni
aurea e il Dante: il Il positivismo:
Lucrezio e la
fondamentali
numero "Paradiso" della filosofia epicurea
"Divina
d'Oro Comte
Commedia"
Interazione
elettromagnetica
Le equazioni di
Maxwell
Introduzione
La mia trattazione ha lo scopo di esporre come varie discipline trovino una legge ed un ordine
all’universo.
La mia ricerca inizierà dall’ambito scientifico trattando Matematica e Fisica, proseguirà poi con
l’ambito umanistico con la Letteratura Italiana, Letteratura Latina e Filosofia.
MATEMATICA
IL NUMERO D’ORO E LA SEZIONE AUREA
Matematica,
Dal punto di vista della a cominciare dai Greci, dai Pitagorici, poi Pacioli e Da Vinci
e tanti altri , si riteneva che l’Universo fosse in “ordine” e fosse regolato da una legge, identificata
nella sezione aurea e nel numero d’oro.
Keplero a riguardo scrive che questa proporzione servi da idea al Creatore per regolare l‘Universo.
"Sono convinto che questa proporzione geometrica servì da idea al Creatore, quando Egli introdusse
la generazione continua di forme simili da forme simili tra loro." Johannes Kepler (1571-1630)
« Il rapporto Aureo è una dimostrazione meravigliosa del fatto che l’uomo creatore e la natura si
S. Groenman –
servono degli stessi strumenti nel creare le forme per arrivare alla bellezza.»
Utrecht, 1969
IN GEOMETRIA
Partiamo dalla definizione classica di sezione aurea: dato il segmento AB si chiama sezione aurea
di AB il segmento medio proporzionale tra l'intero segmento e la parte rimanente.
In figura indichiamo con C il punto che divide il segmento AB nelle due parti richieste
Dev'essere: AB : AC = AC : CB (1)
Si dice per questo che il punto C divide il segmento AB in cioè che il
media ed estrema ragione,
segmento AC, detto la ovvero la è medio proporzionale tra l'intero
media ragione sezione aurea,
segmento AB e la parte rimanente, CB, ovvero l'estrema ragione.
Il numero d'oro è il rapporto costante fra un segmento e la sua sezione aurea.
Possiamo riscrivere la proporzione (1) come
AB : AC = AC : (AB - AC) (2)
e quindi
Indichiamo con il numero d'oro, ovvero il rapporto AB/AC e quindi con AB/phi il segmento
phi
AC.
Otteniamo: (3)
La radice positiva di questa equazione è il numero d'oro
Questa è l'espressione rigorosa diphi, mentre il valore approssimato più usato è 1,618.
Si osservi che l'equazione (3) ci consente di ricavare che può essere vista come
2 1 0
=φ +φ
φ
Cioè come successione
generalizzando per qualsiasi potenza del numero aureo l'equazione diventa:
+ 1 − 1
φ = φ + φ
n n n
In generale possiamo dire che in una progressione geometrica di ragione il termine (n+1) è
phi,
uguale alla somma dei due termini che lo precedono (n) e (n-1).
Questa considerazione ci riporta alla più nota delle successioni di questo tipo, quella di Fibonacci,
che riportiamo:
Ogni termine di questa successione, com'è facile verificare, è uguale alla somma dei due termini
che lo precedono, dati i due termini iniziali, 1 e 1. Il rapporto fra un termine di questa successione
e quello che lo precede si avvicina sempre più a Ad esempio, 89/55 = 1,61818, come si vede, è
phi
già molto vicino a tale numero.
Dimostrazione:
In termini matematici più precisi possiamo scrivere:
Supponiamo che le precedenti frazioni convergano ad un valore definito x.
I termini di questa serie sono uguali (per induzione) a
= F + F
F
(n + 1) (n) (n − 1)
Perciò si avrà che:
Cioè uguale a 1 più il reciproco della frazione, che ripassando per il passaggio a limite, di cui
omettiamo i segni, possiamo riscrivere come segue.
che risolvendo darà φ.
Questa proprietà vale naturalmente per qualsiasi successione di questo tipo, per la quale cioè ogni
termine sia uguale alla somma dei due che lo precedono.
Proviamo a prendere due numeri a caso, 7 e 10, e costruiamo la successione corrispondente:
7 => 10 => 17 => 27 => 44 => 71 => 115 => 186 => 301 => 487 => …
Prendiamo due numeri consecutivi della successione, ad esempio 301 e 186, 301 : 186 = 1,
61828…
Un valore già molto vicino al numero d'oro.
RETTANGOLO D’ORO
Preso un rettangolo aureo, cioè il rettangolo i cui lati (base e altezza) sono in rapporto aureo, e
tagliando da questo un quadrato, quello che rimane è ancora un rettangolo
aureo, più piccolo.
L'operazione può continuare all'infinito, ritagliando quadrati che lasciano sempre rettangoli aurei.
Se uniamo poi i due vertici opposti dei quadrati successivi, com'è indicato in figura, otteniamo una
spirale logaritmica, nota come la "spirale d'oro". La spirale logaritmica è caratterizzata
dal fatto che le distanze fra i bracci della
spirale aumentano secondo una
progressione geometrica
La spirale si sviluppa intorno a un punto
detto «occhio di Dio», ossia il punto
d’incontro tra le due diagonali che si
intersecano in ciascuna coppia di
rettangoli.
MANIFESTAZIONI DELLA SPIRALE IN NATURA
La spirale logaritmica, che si ritrova sovente in
natura, è l'unico tipo di spirale che mantenga sempre
la stessa forma, quando continua ad allargarsi. In
botanica, fisica, zoologia, architettura, pittura e
musica, oltre che in geometria in alcune relazioni
riguardanti i poligoni regolari, la sezione aurea
interviene in modo insistente. Essa, che non è altro
che un semplice rapporto di numeri, si incontra
ovunque, in natura, come nella scienza e nell'arte, e "contribuisce alla
bellezza di tutto ciò che ci circonda."
Il rettangolo aureo nelle opere di Leonardo
e nella Venere di Botticelli
Manifestazioni della spirale nell’Universo
La spirale logaritmica, costruita secondo questa successione di numeri,
è riscontrabile nell’ Universo e dona la forma a certi tipi di galassie.
Sono le galassie a spirale a essere caratterizzate dalla forma a spirale
logaritmica. Queste hanno la forma di un disco, con un nucleo
globulare (bulge) e alcuni bracci a spirale che si avvolgono attorno ad
esso. IN FISICA
INTERAZIONI FONDAMENTALI
In natura sono state individuate quattro forze fondamentali, o interazioni fondamentali, che sono
alla base degli scambi di energia tra le particelle e che sono responsabili della struttura
dell'Universo.
Le interazioni sono descritte attraverso lo scambio di una o più particelle mediatrici di forza che
sono chiamati: bosoni di gauge, oppure quanti del campo di interazione e sono dei bosoni
mediatori
(ovvero hanno spin intero) vettori (ovvero hanno spin = 1, a parte il gravitone che dovrebbe avere
spin = 2). Queste particelle, trasportatrici dell'energia dell'interazione, vengono emesse e riassorbite
dalle particelle interagenti. Magnitudine Andamento Raggio
Teoria Interazione Mediatore relativa asintotico d'azione
Cromodinamica 38 0 -15
Interazione forte gluone 10 1,4 · 10 m
r
quantistica Interazione 36 2
Elettromagnetismo fotone 10 1/r
elettromagnetica
Teoria Bosoni Z, 25 -18
dell'interazione Interazione debole 10 10 m
W+ e W-
debole
Teoria della relatività 0 2
Gravità gravitone 10 1/r
generale
In particolare, la particella mediatrice della forza gravitazionale, il gravitone, è stata finora
ipotizzata ma non ancora rilevata da nessun esperimento.
Il raggio d'azione e l'intensità sono i due tratti più caratteristici di ciascuna interazione.
Semplificando, il raggio d'azione di un'interazione può essere pensato come la distanza massima
alla quale essa è influente. Ad esempio l'interazione gravitazionale ha un raggio d'azione infinito;
per questo motivo il Sole esercita la sua forza anche su corpi lontanissimi come Plutone, e
qualunque atomo dell'universo esercita una forza, seppur minima, su ogni altro atomo dell'universo.
Anche l'interazione elettromagnetica ha raggio d'azione infinito, mentre interazione forte ed
interazione debole hanno raggi d'azione finiti (e particolarmente piccoli, se raffrontati con le scale
umane).
L'intensità fornisce una misura dei rapporti di forza tra le interazioni di diversa natura.
Gli esperimenti hanno dimostrato che la forza forte è circa cento volte più tenace della forza
elettromagnetica e addirittura centomila volte più forte di quella debole.
Al contrario, a livello di particelle singole, la gravità è una forza praticamente impercettibile, più
debole della forza elettromagnetica di un miliardo di miliardi di miliardi di miliardi di volte (1
seguito da 36 zeri).
Interazione gravitazionale
•
La gravità è la più debole delle quattro forze, ma è quella a noi più familiare nella vita quotidiana e
fu la prima a essere studiata scientificamente.
Le proprietà dell'interazione gravitazionale si possono riassumere come segue: Tutti i corpi si
attraggono con una forza proporzionale alle loro masse e inversamente
proporzionale al quadrato della loro distanza. Tale forza giace sulla linea
congiungente i due corpi ed e' quindi un vettore.
In qualsiasi pezzo di materia la gravità di tutte le singole particelle che lo compongono, si somma.
Non esiste per la gravità una cancellazione come quella fra le cariche elettriche positive e negative
in un atomo. Quindi anche se molto minore di intesità delle altre forze, a livello macroscopico la
gravità, proprio per la sua addittività, produce effetti molto grandi.
Il raggio d'azione della gravità è infinito come quello dell'elettromagnetismo, e come accade per
l'interazione elettromagnetica, l'intensità dell'interazione gravitazionale diminuisce all'aumentare
della distanza tra i corpi interagenti.
La gravità è chiaramente un'interazione fondamentale della natura, ma la teoria del Modello
Standard non è ancora in grado di spiegarla e di inserirla in modo soddisfacente in un quadro
completo delle quattro interazioni fondamentali. Questo è uno dei principali problemi aperti della
fisica moderna. Inoltre il mediatore della gravità, per il quale si fa l'ipotesi che si tratti di una
particella di massa nulla (il gravitone), non è stato ancora sperimentalmente osservato.
Interazione elettromagnetica
•
L'interazione elettromagnetica è alla base di tutto i fenomeni elettrici e magnetici, e poiché
elettricità e magnetismo sono inseparabili, possiamo parlare in generale di fenomeni
elettromagnetici ha come bosone vettore il fotone e ha raggio d’azione infinito ed intensità relativa
-2
di circa 10 . Nell'elettromagnetismo abbiamo due tipi di interazione: attrattiva e repulsiva,
conseguente del tipo di carica positiva e negativa. Va fatto notare che la assegnazione del termine
positivo e negativo è solo una convenzione. I fenomeni elettromagnetici sono oramai parte
integrante della nostra vita: se oggi venisse a mancare l'energia elettrica saremo in guai seri. Gli
atomi sono composti da protoni e neutroni nel nucleo ed elettroni orbitanti. I protoni e gli elettroni
hanno cariche elettriche opposte per cui gli atomi sono elettricamente neutri. Quello che permette ai
vari atomi di legarsi insieme per formare le molecole, e poi ancor più molecole per gli amminoacidi,
e poi sostanze sempre più complesse, è la forza elettromagnetica residua, dovuta all'interazione
degli atomi con i loro vicini.
Interazione forte
•
L'interazione forte avviene tra i quark ed è mediata dai gluoni. Essa rende possibile l'esistenza del
nucleo atomico. Considerato il nucleo di un atomo qualsiasi, esso sarà composto da un numero di
protoni pari al numero atomico e da un numero di neutroni pari al numero di massa meno il numero
di protoni.
Essendo i protoni carichi positivamente (carica: +|-e|, con e carica elettrica negativa dell'elettrone),
se sono presenti, in uno stesso nucleo, due o più protoni, questi tenderanno a respingersi per azione
della forza elettromagnetica repulsiva che si instaura tra corpi elettricamente carichi con carica
elettrica dello stesso segno. Un nucleo in cui agisse solo la forza elettromagnetica sarebbe destinato
ad essere distrutto da queste forze repulsive. L'azione di allontanamento operata dai neutroni,