Matematicamente

Sommario: Euclide... Euclide (330 a.C.- 275 a.C. Circa) è considerato il più famoso matematico di tutti i tempi. La sua popolarità è dovuta all'opera Gli Elementi, un trattato che per numero di edizioni e traduzioni può competere con la Divina Commedia dantesca e, forse, è superato solo dalla Bibbia. Gli Elementi si compongono di 13 libri che raccolgono tutte le conoscenze matematiche del tempo. Ogni libro inizia con un gruppo di proposizioni che possono essere considerate le definizioni di ciò che verrà trattato successivamente. I principi fondamentali esposti si distinguono in tre categorie: termini o definizioni, teoremi e dimostrazioni e postulati. Proprio da questi ultimi si inizia per entrare nel discorso delle geometrie non euclidee. ...e i suoi postulati I postulati o assiomi posti da Euclide sono: 1.Da qualsiasi punto si può condurre una retta ad ogni altro punto 2.Ogni retta si può prolungare all'infinito 3.Con ogni centro e ogni distanza di può descrivere un cerchio 4.Tutti gli angoli retti sono uguali tra di loro 5.Una retta, incontrandone altre due, forma gli angoli interni da una stessa parte minori di due retti, allora le due rette, prolungate all'infinito, si incontrano dalla parte in cui sono i due angoli minori di due retti La geometria costruita dal noto matematico su i suoi postulati si presenta di un rigore ineccepibile ed i postulati non presentano, almeno apparentemente, alcuna difficoltà di accettazione perché esprimono caratteristiche verificabili sperimentalmente ed intuitivamente. Ma il V postulato già ai matematici dell'epoca appariva piuttosto incerto. Proclo nel suo Commento al libro I di Euclide lo sostituisce con un'affermazione equivalente: Dati in un piano una retta ed un punto che si trova al di fuori di essa, esiste una ed una sola retta passante per il punto e parallela alla retta data Intuitivamente la proposizione può sembrare accettabile, ma sperimentalmente non esistono mezzi per giustificarla. Il parallelismo, cioè il non incontrarsi di due rette, non si presenta ad alcuna verifica pratica per i limiti materiali che ci impone il piano su cui disegniamo. Per accettare tale postulato dovremmo prolungare le rette all'infinito ed è chiaro che nessun piano materiale può essere infinito. Il quinto postulato fu argomento di varie dispute iniziate già nell'antichità: nella prima fase, a cui appartenne Proclo, quindi in tempi relativamente vicini alla formulazione dell'assioma, i matematici cercano di ridefinirlo e riformularlo nella seconda fase, che inizia nel XVI secolo, si cerca di dimostrarlo, giungendo agli stessi risultati ottenuti nella prima fase nella terza fase ci si convince dell'impossibilità di dimostrare questo postulato e si costruiscono le prime geometrie non euclidee. Il tentativo di Saccheri Nel 1773, il matematico Saccheri, nel suo Euclides ab omni naevo vindicatus, pensò di dimostrare il V postulato a contrariis cioè partendo dalla sua negazione sperando che essa nel suo ragionamento si distrugga da sé, quindi risulti falsa e, di conseguenza, l'assioma sarà vero.