Matematicamente

Sommario: Studiare la storia della matematica sembra essere una disciplina completamente diversa dal sapere, quasi tecnico, per cui questa materia si caratterizza. La prima infatti si contraddistingue per studiare soprattutto i contesti culturali in cui si colloca l'evoluzione di questa disciplina, apparendo quindi anche opinabile. La seconda invece ha un taglio più specialistico e per questo appare meno fallibile, appunto più "matematica". In realtà tra queste due materie si riscontra un particolare rapporto di forza, che porta a subordinare la seconda alla prima. Questo legame evidenzia la stretta vicinanza, e spesso anche compenetrazione, esistente tra la matematica e la filosofia. Come in questa mia breve trattazione cercherò di evidenziare, i problemi di una disciplina diventano anche i problemi dell'altra. Dopo avere definito la struttura (o per meglio dire la sintassi) che caratterizza questo mio progetto si tratta ora di esporne il contenuto. Il periodo storico scelto è quello che va dalla fine dell'Ottocento agli anni '30 del Novecento, un lasso di tempo in cui la matematica si è evoluta in modo consistente. Il problema centrale attorno a cui verte questo sviluppo è quello della certezza che dovrebbe caratterizzare la disciplina. Con la scoperta delle geometrie non euclidee infatti venne anche meno la validità del criterio di evidenza su cui potere fondare la verità e la coerenza della geometria, così come dell'aritmetica. Nei vari tentativi che si fecero per ovviare a questo problema tre furono le vie sperimentate, che corrispondono ad altrettante "scuole": il logicismo, il formalismo e l'intuizionismo. Paradossalmente tutte e tre però fallirono. Il fine di questo progetto si lega proprio a questi risultati e al suo artefice, Kurt Gödel, grazie al quale la matematica, non potendo determinare dall'interno la propria coerenza, può affermare con certezza soltanto i propri limiti. Un risultato che si unisce anche all'opera di Ludwig Wittgenstein, di cui costituisce una profonda critica: il suo fine era quello di purificare il linguaggio eliminandone gli asserti contraddittori e insensati e dandogli una forte armatura logica. Il fallimento di questo progetto è forse uno dei risultati più fecondi della matematica del Novecento. La crisi dell'intuizione La scoperta delle geometrie non euclidee (Gauss, Lobačevskij e Bolyaj) aveva determinato una messa in discussione dell'intera matematica, che si fondava proprio sulla geometria. Come Kant stesso aveva scritto nella Critica della ragion pura la geometria euclidea era a priori alla pari dei numeri naturali, perché direttamente derivati dai concetti di spazio e tempo, anch'essi posti a priori. In queste convinzioni si faceva derivare la verità, quindi anche la coerenza dell'intera disciplina, soltanto sull'evidenza degli assiomi. Con il venir meno di questo criterio, rimaneva però inalterato l'obiettivo di dare comunque alla matematica coerenza e l'unica disciplina che poteva prendere il posto della geometria era l'aritmetica. Chiaramente la struttura fondamentale della matematica sarebbe stata costituita da assiomi scelti in modo arbitrario, purché non contraddittorio. Ma il tentativo di assolvere a questo problema avrebbe rivelato molte difficoltà.