Geometria analitica: Studio di un fascio di curve(a-1)x^2+2y^2-(5-a)x+ay+a-2=0

E'dato il fascio di curve di equazione

Stabilire per quali valori del parametro

il fascio rappresenta

1)Una circonferenza

2)Una parabola con asse verticale

3)Una parabola con asse orizzontale

4)Una retta

5)Una curva passante per l'origine

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1)

Scriviamo l'equazione generale dell circonferenza

Perciò, il fascio di curve rappresenta una circonferenza se e solo se i coefficienti dei termini al quadrato sono uguali.

Imponendo questa condizione, avremo

ovvero

Per questo valore, dal fascio si ottiene una circonferenza.

2)

Scriviamo l'equazione generale di una parabola con asse verticale

ovvero

Osserviamo che questo tipo di equazione non contempla un termine

.

Pertanto, occorre che nemmeno il nostro fascio abbia il termine

al quadrato.

Notiamo però che non è possibile annullare

: infatti il parametro non lo influenza, l'unico parametro di è , che pertanto resta tale; qualsiasi valore assuma, il termine rimarrà .

Concludiamo dicendo che non è possibile ottenere parabole con asse verticale

3)L'equazione di una parabola a asse orizzontale è

ovvero

Il termine che non è presente è

.

Pertanto, il nostro fascio rappresenta una parabola quando

ovvero

4)

L'equazione generale di una retta è

Affinchè il fascio contenga una retta, deve essere possibile che CONTEMPORANEAMENTE siano annullati i termini

e .

Ciò però non è possibile, dato che comunque un termine (quello in

) non sarà  mai annullato, come mostrato nel punto 2).

5)

Come sappiamo, una curva passa per l'origine quando il termine noto è nullo.

Il nostro termine noto, parametrico, è

perciò se

ovvero

la nostra curva passa per l'origine.

FINE