Sia
[math]A[/math]
la seguente matrice:
[math][(0, 1, -1),(-1, 0, 1),(1, -1, 0)][/math]
1) È vero che nessun autovalore di
[math]A[/math]
è reale? 2) Dire quali delle seguenti affermazioni sono vere:
- [math]A^2 = A[/math]
- [math]A^2 = I[/math]
- [math]A^t A = I[/math]
- [math]A^t = -A[/math]
- [math]A^2 = 0[/math]
- [math]A^t = A[/math]
3) In base alla risposta precedente, cosa si può dire sugli autovalori di
[math]A[/math]
? 4) Trovare tutti gli autovalori di
[math]A[/math]
, reali o complessi, indicandone molteplicità algebrica e geometrica. 5) La matrice
[math]A[/math]
è diagonalizzabile in [math]\mathbb{R}[/math]
? E in [math]\mathbb{C}[/math]
? 6) Si può dire che
[math]A[/math]
è nilpotente/idempotente/periodica? Se sì, quale di queste tre?
La risposta alla domanda 1. è 'No', dato che
[math]0[/math]
è un autovalore della matrice. La matrice [math]A[/math]
è antisimmetrica, quindi l'unica alternativa vera è [math]A^t = -A[/math]
. Dato che
[math]A[/math]
è una matrice antisimmetrica a coefficienti reali allora l'unico autovalore reale è [math]0[/math]
, gli altri sono complessi coniugati. Gli autovalori (reali o complessi) della matrice
[math]A[/math]
sono tutte e sole le costanti [math]\lambda \in \mathbb{C}[/math]
tali che la matrice [math]A - \lambda I[/math]
è singolare, dove [math]I[/math]
è la matrice identità . Per prima cosa si calcola la matrice [math]A - \lambda I[/math]
:
[math][(-\lambda, 1, -1),(-1, -\lambda, 1),(1, -1, -\lambda)][/math]
Ora si deve calcolare il polinomio caratteristico di
[math]A[/math]
, cioè il determinate di quest'ultima matrice; sviluppando rispetto alla prima colonna si ottiene:
[math]p(\lambda) = - \lambda( \lambda^2 + 1) + (-\lambda -1) + (1-\lambda) = \lambda^3 + 3 \lambda[/math]
Le radici di
[math]p(\lambda)[/math]
sono gli autovalori, ponendo [math]p(\lambda)=0[/math]
si ottiene:
[math]\lambda(\lambda^2 + 3) = 0[/math]
quindi gli autovalori sono
[math]\lambda_1 = 0[/math]
, [math]\lambda_2 = i\sqrt{3}[/math]
, [math]\lambda_3 = -i\sqrt{3}[/math]
. Tutti gli autovalori sono semplici, per questo hanno molteplicità algebrica
[math]1[/math]
, di conseguenza anche la molteplicità geometrica, cioè la dimensione degli autospazi, è [math]1[/math]
. Dato che ci sono autovalori complessi la matrice non può essere diagonalizzabile in
[math]\mathbb{R}[/math]
; dato che tutti gli autovalori sono semplici la matrice è diagonalizzabile in [math]\mathbb{C}[/math]
. Data una matrice quadrata
[math]M[/math]
, essa si dice nilpotente di potenza [math]k[/math]
se e solo se [math]M^k = O[/math]
, dove [math]O[/math]
indica la matrice nulla, si dice idempotente di esponente [math]k[/math]
([math]k > 1[/math]
) se e solo se [math]M^k = M[/math]
, si dice periodica di periodo [math]k[/math]
([math]k > 1[/math]
) se e solo se [math]M^k = I[/math]
, dove [math]I[/math]
indica la matrice identità . In questo caso la matrice
[math]A[/math]
non è né nilpotente, né idempotente, né periodica.
FINE
