BigDestroyer
di BigDestroyer
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In questo appunto viene spiegata in modo dettagliato la risoluzione di un problema sul calcolo del perimetro di un triangolo noti due lati e sul calcolo del lato di un triangolo isoscele, isoperimetrico al primo; per comprende a pieno la risoluzione del problema è prima necessario richiamare brevemente i concetti di triangoli, perimetro, triangoli isosceli e isoperimetrici.

Il triangolo: definizione e caratteristiche

Il triangolo è una figura piana costituita da tre segmenti che hanno gli estremi in comune; tali segmenti prendono il nome di lati mentre gli estremi in comune prendono il nome di vertici.
Due lati attigui e il vertice in comune definiscono una porzione di spazio che prende il nome di angolo; un triangolo è quindi composto da 3 angoli.
Indipendentemente dal tipo di triangolo che si considera, tali angoli hanno la proprietà che la loro somma è sempre pari a un angolo piatto (180°).
Il triangolo più generico (triangolo scaleno) ha tutti e tre i lati di lunghezza differente, se due o tre lati sono congruenti (hanno la stessa lunghezza) allora il triangolo assume dei nomi particolari:
In un triangolo isoscele i due lati uguali prendono il nome di lati obliqui mentre il lato con lunghezza differente prende il nome di base.
Per ulteriori approfondimenti sugli angoli vedi anche qua.

Per ulteriori approfondimenti sui diversi tipi di triangoli vedi anche qua

Il triangolo: perimetro

In ogni figura piana il perimetro corrisponde alla lunghezza della linea che definisce la figura, nel caso in cui la figura è delimitata da segmenti si ha che il perimetro è pari alla somma dei segmenti che definiscono la figura.
Il triangolo è una figura caratterizzata da 3 lati perciò nel caso più generico il perimetro si trova sommando la lunghezza di ognuno dei tre lati.
[math]P=\overline{AB}+\overline{BC}+\overline{CA}[/math]

Nel caso più specifico di un triangolo isoscele il perimetro può essere calcolato sommando i tre lati ma dato che due lati obliqui sono uguali (ad esempio

[math]\overline{BC}=\overline{CA}[/math]
), il perimetro può essere calcolato nel seguente modo:
[math]P=\overline{AB}+\overline{BC}+\overline{CA}=\overline{AB}+2 \cdot \overline{BC}[/math]

Nel caso in cui il triangolo è equilatero (tutti e tre i lati sono congruenti), il perimetro equivale al triplo della lunghezza di un lato:

[math]P=3 \cdot \overline{AB}[/math]

Nel caso in cui si conosce il perimetro del triangolo e si vuole trovare la lunghezza di un lato note le lunghezze degli altri due è possibile utilizzare la seguente formula inversa:

[math]\overline{AB}=P-\overline{BC}-\overline{CA}[/math]

Il triangolo: isoperimetria

Due triangoli si definiscono isoperimetrici se hanno lo stesso perimetro.
Affinché due triangoli siano isoperimetrici è quindi necessario confrontare i valori del perimetro, non c’è nessun requisito sulla lunghezza dei lati.

L’isoperimetria (l’uguaglianza della lunghezza del perimetro) non vale solo per triangoli ma può valere per qualsiasi altra figura geometrica, figure geometriche anche molto differenti possono essere isoperimetriche (ad esempio un triangolo e un cerchio possono essere isoperimetriche se hanno la stessa lunghezza di perimetro, ovviamente il calcolo del perimetro per le due figure dovrà essere eseguito utilizzando le formule corrette e relative alla figura considerata).

L’isoperimetria gode inoltre della proprietà transitiva.
La proprietà transitiva in genere è valida nel caso di uguaglianze: se un lato è congruente al secondo lato e se tale secondo lato è congruente al terzo lato, se la proprietà transitiva è valida si ha che anche il primo e il terzo lato sono congruenti.
Tale proprietà vale anche per l’isoperimetria perciò se una figura è isoperimetrica ad una seconda figura e se tale figura è isoperimetrica ad una terza figura, per la proprietà transitiva si può dire che la terza figura è isoperimetrica alla prima.

Problema e risoluzione

Calcola il perimetro di un triangolo sapendo che le misure di due lati sono rispettivamente di 80 cm e 60 cm e che la misura del terzo lato è la meta del primo.
Un triangolo isoperimetrico a lui è isoscele ed ha la base che misura la metà di CB.
Misurare i lati obliqui del triangolo isoscele DEF.

Triangoli isoperimetrici

Svolgimento:
Il problema ci fornisce la lunghezza di due lati di un triangolo (

[math]\overline{AC}=80cm[/math]
e
[math]\overline{AB}=60cm[/math]
) e ci chiede di calcolare il perimetro.
Per il calcolo del perimetro è necessario conoscere la lunghezza di tutti e tre i lati, due ci vengono forniti nel testo del problema, il terzo (
[math]\overline{CB}[/math]
) è ciò che bisogna trovare.
Per trovare
[math]\overline{CB}[/math]
 possiamo sfruttare il fatto che il terzo lato è la metà del primo perciò:
[math]\overline{CB}=\overline{AC}:2=80:2=40cm[/math]

Ora che sono stati trovati tutti e tre i lati del primo triangolo possiamo calcolare il suo perimetro sapendo che il perimetro corrisponde alla somma dei tre lati del triangolo:

[math]P=\overline{AC}+\overline{CB}+\overline{AB}=80+60+40=180cm[/math]

La seconda parte del problema considera un secondo triangolo (DEF) che è isoperimetrico al primo (ABC), dato che due triangoli isoperimetrici hanno lo stesso perimetro si ha che:

[math]P_{ABC}=P_{DEF}=180cm[/math]

Tale secondo triangolo è isoscele perciò ha due lati congruenti (

[math]\overline{DF}=\overline{DE}[/math]
).
Il problema afferma inoltre che la base di questo secondo triangolo è la metà del lato
[math]\overline{CB}[/math]
, perciò:
[math]\overline{FE}=\overline{CB}:2=40:2=20cm[/math]

Il problema chiede di calcolare la lunghezza dei due lati obliqui, si conosce la base

[math]\overline{FE}[/math]
e conosciamo il perimetro perciò:
[math]P=\overline{DE}+\overline{EF}+\overline{DF}=2 \cdot \overline{DE}+\overline{EF}[/math]

[math]\overline{DE}=\frac{P_{ABC}−\overline{FE}}{2}=\frac{180−20}{2}=\frac{160}{2}=80cm[/math]
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