Sia
[math]hat{ABC}[/math]
un triangolo qualsiasi, prolunghiamo [math]\bar(AC)[/math]
e su di essa consideriamo
[math]D[/math]
tale che [math]\bar(CD)~=\bar(CB)[/math]
; prolunghiamo anche [math]\bar(CB)[/math]
e su di essa consideriamo
[math]E[/math]
tale che [math]\bar(CE)~=\bar(CA)[/math]
.Le rette
[math]DE[/math]
e [math]AB[/math]
si incontrano in [math]F[/math]
. Dimostrare che [math]hat{DFB}[/math]
è isoscele. 
Ipotesi
[math]\bar(CD)~=\bar(CB)[/math]
[math]\bar(CE)~=\bar(CA)[/math]
Dimostrazione
sappiamo che
[math]ChatDB~=ChatBD[/math]
perchè è isoscele il triangolo [math]hat{CDB}[/math]
.Inoltre
[math]hat{ECD}~=hat{ACB}[/math]
per il primo criterio di uguaglianza, infatti[math]\bar(EC)~=\bar(AC)[/math]
per ipotesi[math]\bar(CD)~=\bar(CB)[/math]
per ipotesi[math]EhatCD~=AhatCB[/math]
perchè opposti al vertice Di conseguenza
[math]EhatDC~=AhatBC[/math]
.Si può concludere che
[math]FhatDB~=FhatBD[/math]
, perchè somma di angoli congruenti, precisamente[math]FhatDB=FhatDC+ChatDB[/math]
e [math]FhatBD=FhatBE+EhatBD[/math]
,con
[math]FhatDC=FhatBE[/math]
e [math]ChatDB=EhatBD[/math]
; e quindi poichè un triangolo che ha due angoli uguali ha anche uguali i lati opposti a questi è isoscele, concludiamo che
[math]hat{DFB}[/math]
è isoscele.
