La Matematica, le sue forme

Dalle prime due definizioni di ricava che:

• Dato

dove V è il volume di una sfera di raggio r, π =3/4 del volume di una sfera di raggio 1.

,

• Dato

dove S è la superficie di una sfera di raggio r, π =1/4 della superficie di una sfera di raggio

1.

COME TROVARE

Il metodo Montecarlo

Se si traccia un cerchio inscritto esattamente in un quadrato e si lanciano delle freccette

sul bersaglio, tra quelle che toccano il bersaglio una quantità pari a π /4 si troverà nel

cerchio. Lanciando una grande quantità di freccette, si troverà quindi

un’approssimazione di π /4 e quindi anche di p.

Simulazione: http://polymer.bu.edu/java/java/montepi/MontePi.html

STORIA DI π

Il simbolo " π " per la costante di Archimede è stato introdotto nel 1706 da William Jones

quando pubblicò A New Introduction to Mathematics. La notazione diventò standard

dopo che la utilizzò Eulero. In entrambi i casi p è la prima lettera di perimetros, che

significa 'misura attorno' in greco.

Cronologia di :

• 20º secolo AC: i Babilonesi usavano 3+1/8 per p

• 20º secolo AC: gli Egizi (Papiro di Rhind) usano p = (16/9)2

• 12º secolo AC: i Cinesi usano 3 per p

• 434 AC: Anassagora tenta la quadratura del cerchio con riga e compasso

• 3º secolo AC: Archimede scopre che 223/71 < p < 22/7, e trova inoltre l'approssimazione

p = 211875/67441.

• 20 AC: Vitruvio usa 25/8.

• Bibbia: p=3 (Antico Testamento).

• 2º secolo: Tolomeo usa p = 377/120.

• 5º secolo: Zu Chongzhi scopre che 3.1415926 < p < 3.1415927.

• 9º secolo: Al Khwarizmi usa 3.1416.

• 1220: Fibonacci usa il valore 3.141818.

• 1596: Ludolph van Ceulen calcola 35 cifre di p.

• 1706: Machin, 100 cifre.

• 1734: Adottato da Eulero, l'uso del simbolo p si diffonde..

• 1761: Johann Heinrich Lambert prova che p è un numero irrazionale.

• 1775: Eulero ipotizza che p possa essere trascendente.

• 1844: Strassnitzky calcola fino a 200 cifre.

• 1853: Rutherford, 440 cifre.

• 1874: Shanks, 707 cifre, di cui 527 sono corrette.

• 1882: Ferdinand von Lindemann dimostra che p è trascendente.

• 1999: Kanada e Takahashi, 206.158.430.000 cifre (record più recente).

FORMULE CHE RIGUARDANO

Geometria

• La circonferenza di un cerchio o di una sfera di raggio r: C = 2 π r

• L'area di un cerchio di raggio r: A = π r2

• L'area di un'ellisse di semiassi a e b: A = π b

• Il volume di una sfera di raggio r: V = (4/3) π r3

• La superficie di una sfera di raggio r: A = 4 π r2

• Il volume di un cilindro di altezza h e raggio r: V = (π r2 ) h

• L'area della superficie di un cilindro di altezza h e raggio r: A = ([π r2] 2 ) + ([2 π r] h )

• Angoli: 180 gradi equivalgono a π radianti

Analisi

Formula di Leibniz:

Il problema di Basel :

La funzione di Riemann :

Teoria dei numeri

• La probabilità che due interi scelti a caso siano primi fra loro è di

• Il numero medio di modi in cui è possibile scrivere un intero positivo come somma di due

.

quadrati perfetti è

• Il numero di primi presenti nell'intervallo compreso tra 0 e n è denotato con π (n)

Fisica

Forza di Coulomb =

Legge di Biot-Savart : B =

2.3

C’è una relazione tra queste due costanti in matematica?

Abbiamo analizzato le due costanti, come nascono, da cosa derivano e che uso ne facciamo

nella matematica e nelle scienze. Ma esiste una relazione tra queste due costanti

fondamentali?

i = costante =

= - 1

y = vale π :

Quando la

Conclusione:

Questa è una relazione tra numeri fondamentali il cui significato intrinseco non è di

immediato percepibile ma è comunque dimostrato che c’è una relazione. Tutta da

interpretare!

3. Le costanti in Fisica

3.1 La costante

Il flusso (indicato con il simbolo Φ) è una proprietà di ogni campo vettoriale; si

riferisce ad una ipotetica superficie che può essere chiusa o aperta. Per un campo

elettrico il flusso è il numero di linee di forza che attraversano la superficie.

Per quanto riguarda le superfici chiuse, vedremo che è positivo se le linee di forza

sono, ovunque, dirette verso l’esterno, negativo se dirette verso l’interno.

L’importanza del concetto “flusso del campo elettrico” sta nel fatto che la legge di

Gauss, una delle quattro equazioni fondamentali dell’elettromagnetismo è espressa in

termini di esso.

La legge di Gauss, che si applica a ogni superficie chiusa ipotetica (chiamata superficie

gaussiana), stabilisce una relazione tra il flusso attraverso la superficie e la carica

totale q racchiusa dalla superficie. Essa è :

Questo integrale di superficie implica che la superficie in questione deve essere divisa

, che per ogni elemento deve essere valutata la

in elementi infinitesimi di area

quantità scalare e che si deve effettuare la somma di tali quantità per l’intera

superficie. Il circoletto sovrapposto al segno di integrale indica che la superficie di

integrazione è chiusa.

la carica q nell’equazione è la carica totale, tenendo conto del suo segno algebrico,

per cui se una superficie racchiude cariche uguali e di segno opposto, il flusso è

zero. Cariche esterne alla superficie non contribuiscono al valore di q, né d’altra parte

questo valore dipende dalla posizione delle cariche all’interno della superficie.

La legge di Coulomb può essere ricavata dalla legge di Gauss con considerazioni di

simmetria. Applicando la legge di Gauss ad una carica puntiforme isolata q, come

mostrato nella figura,

sebbene la legge di Gauss sia valida per una superficie qualsiasi, in una superficie

sferica di raggio r, col centro nella carica, è possibile estrarre più facilmente

informazioni. Il vantaggio di questa superficie è che per motivi di simmetria E deve

essere perpendicolare ad essa e deve avere lo stesso modulo in tutti i punti della

superficie.

Nella figura sia E che dS, in ogni punto della superficie gaussiana, sono diretti

radialmente verso l’esterno; l’angolo tra i due vettori è 0 e la quantità diviene

.

semplicemente

Poiché E è costante in tutti i punti della superficie sferica può essere trasportato fuori

dal segno di integrale dando

,

dove l’integrale è l’area della superficie sferica. Questa equazione dà

L’equazione dà il modulo del’intensità di campo elettrico E in ogni punto che si trova a

distanza r da una carica puntiforme isolata q.

Supponiamo di porre una seconda carica puntiforme nel punto in cui è stato

calcolato E. Il modulo della forza agente su essa è :

Combinata con l’equazione del campo elettrico dà :

che è la legge di Coulomb. Cosi abbiamo dedotto la legge di Coulomb dalla legge di

Gauss con sole considerazioni di simmetria.

La legge di Gauss è una delle equazioni fondamentali dell’elettromagnetismo riportata

nelle equazioni di Maxwell.

Sperimentalmente si trova il valore della costante = 8,854 ed è chiamata

costante dielettrica nel vuoto.

3.2

La costante

Parlando del campo magnetico sono famosi due fenomeni di questo campo con il

campo elettrico:

La forza esercitata da un campo magnetico su una carica in movimento o su un

conduttore percorso da corrente e il momento esercitato su un dipolo magnetico.

Il secondo fenomeno riguarda la generazione di un campo magnetico da parte della

corrente che attraversa un conduttore o da parte di cariche in movimento. La scoperta

che le correnti producono eggetti magnetici fu fatta da Oersted nel 1820.

La relazione quantitativa fra il campo magnetico B e la corrente i è , nota

come legge di Ampère. Ampère essendo un sostenitore del punto di vista dell’azione e

distanza, non formulò in termini di campi i suoi risultati; questa formulazione fu fatta

per la prima volta da Maxwell. La legge di Ampere includendo una importante

estensione di essa fatta successivamente da Maxwell, è ima delle equazioni

fondamentali dell’elettromagnetismo.

La permeabilità magnetica nella legge di Ampère ha il seguente valore :

= .

Ci si potrebbe domandare perché nella legge di Coulomb è una quantità misurata,

nella legge di Ampère è una quantità assegnata. La risposta è che l’ampere,

mentre

che è l’unità di misura internazionale per la corrente i nella legge di Ampère, è definita

con una tecnica di misura (elettrodinamometro) che sfrutta forze esercitate da campi

. In effetti l’intensità di

magnetici, nella cui espressione comprare questa costante abbia

corrente che stabiliamo di definire pari a un ampere è scelta in modo tale che

esattamente il valore sopra riportato. Nella legge di Coulomb d’altra parte le quantità

, il cui valore si ottiene uguagliando

F, q ed r sono misurate in modo indipendente da

i termini di sinistra e di destra della legge di Coulomb, senza che sia possibile alcuna

arbitrarietà.

3.3

le equazioni di Maxwell.

La teoria del campo elettromagnetico del fisico scozzese James Clerk Maxwell rappresenta un

esempio molto notevole di come la matematica da sola possa costituire la base e il punto di

partenza di un’intera teoria fisica.

Secondo Maxwell una carica elettrica non agisce direttamente su altre cariche per mezzo di

forze di Coulomb, ma modifica lo spazio (che per Maxwell è ancora l’etere) attraverso delle

onde di perturbazione che viaggiano a velocità finita e costante. Queste onde rappresentano

una variazione del campo elettrico; questa variazione genera un campo magnetico, anch’esso

variabile, che produce a sua volta un nuovo campo elettrico ancora variabile, ecc. Di qui la

generazione a catena di campi elettrici e magnetici, e quindi di onde elettromagnetiche, che

risultano propagarsi alla stessa velocità della luce.

Questo modello intuitivo trova una coerente traduzione matematica nelle quattro formule

fondamentali dell’elettromagnetismo, le prime due sul flusso del campo elettrico

) teorema di Gauss, e del campo magnetico ), la terza sulla circuitazione del

,

campo elettrico (legge di Faraday-Neumann) e la nuova equazione formulata da

Maxwell sulla circuitazione del campo magnetico.

Partendo dalla legge di Faraday,

Maxwell ipotizza un’espressione formalmente analoga:

Tale espressione però non può essere corretta per ragioni dimensionali e inoltre deve essere .

accorpata al teorema delle circuitazione di Ampere, la circuitazione di Ampère è :

esprime la corrente di spostamento, ) è la variazione del flusso del campo

attraverso la superficie

elettrico che avviene nel intervallo di tempo infinitesimo

prescelta.

Sia ha cosi che la circuitazione è chiamata Il

4ª equazione di Maxwell.

significato di questa formula è speculare a quello della legge di Faraday. Quest’ultima sta

a significare che un campo magnetico variabile genera un campo elettrico (diverso dal

campo elettrico tradizionale, quello generato da cariche statiche, in quanto non

conservativo).

Analogamente, la quarta equazione di Maxwell dimostra che un campo elettrico variabile

è responsabile della formazione di un campo magnetico. E’ facile intuire, a questo punto,

che campo magnetico ed elettrico variabili si producono a vicenda.

Dalla teoria di Maxwell si deducono importanti conclusioni circa la natura delle onde, delle

particelle e soprattutto della luce.

è un’invariante dell’equazione, essendo e delle

In particolare, il prodotto

costanti, e ha le dimensioni del reciproco del quadrato di una velocità; tale velocità vale:

e sostituendo i valori delle costanti e si ha:

Ovvero la velocità c della luce nel vuoto, che viene così confermata essere una costante,

invariante in qualsiasi sistema di riferimento e indipendente dalle velocità reciproche dei

sistemi di riferimento.

La luce è effettivamente un’onda e ciò che oscilla è il campo elettromagnetico. Questa

teoria unifica diversi fenomeni riguardanti il campo elettrico e altri riguardanti il campo

magnetico, fenomeni che in apparenza sembrerebbero indipendenti.

L’ipotesi di Maxwell è stata formulata su basi puramente teoriche, senza il supporto di

dati empirici e senza lo stimolo di risultati sperimentali in contrasto con le teorie

esistenti, come invece è accaduto in altre situazioni; si può dire che l’idea che spinge

Maxwell a pensare una formula “simmetrica” alla legge di Faraday non sia altro che un

puro “gioco intellettuale”.

4.Come le Informazioni nascono, come viaggiano