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Algebra Lineare – teorema di nullità + rango

Siano $\mathcal{V}$ e $\mathcal{W}$ spazi vettoriali sullo stesso campo $\mathcal{K}$ e siano

$\phi: \mathcal{V} \to \mathcal{W}$, $\psi: \mathcal{W} \to \mathcal{V}$

trasformazioni lineari da $\mathcal{V}$ a $\mathcal{W}$ e, rispettivamente, da $\mathcal{W}$ a $\mathcal{V}$. Si assuma che

$\dim(\mathcal{V}) = 132$, $\dim(\mathcal{W}) = 150$

  1. È possibile che $\psi \phi$ sia iniettiva?
  2. È possibile che $\psi \phi$ sia suriettiva?
  3. È possibile che $\psi \phi$ sia invertibile?
  4. È possibile che $\psi$ sia suriettiva?
  5. È possibile che $\psi$ sia iniettiva?
  6. È possibile che $\psi$ sia invertibile?
  7. È possibile che $\dim(\ker(\psi)) \ge 18$?
  8. È possibile che $"null"(\phi) = "rank"(\phi)$?
  9. È possibile che $"null"(\phi) = 2 \cdot "rank"(\phi)$?

Le trasformazioni $phi$ e $\psi$ sono componibili, perché il dominio di $\psi$ coincide con il codominio di $phi$, e risulta:

$\psi \phi: \mathcal{V} \rightarrow \mathcal{V}$

Dato che $\psi \phi$ è un endomorfismo può essere sia iniettivo che suriettivo, quindi anche invertibile, pertanto le domande 1., 2., 3. hanno risposta ‘Sì’.
Per il teorema di nullità + rango si può scrivere:

$\dim(\mathcal{W}) = "null"(\psi) + "rank"(\psi)$

cioè

$150 = "null"(\psi) + "rank"(\psi)$

Se $\psi$ fosse suriettiva risulterebbe $rank(\psi)=132$, e si troverebbe

$150 = null(\psi) + 132$

quindi

$null(\psi) = 18$

pertanto la trasformazione $\psi$ può essere suriettiva. Se $\psi$ fosse iniettiva risulterebbe $"null"(\psi) = 0$, e in questo caso si otterrebbe:

$150 = 0 + "rank"(\psi)$

assurdo, perché il rango di un’applicazione lineare non può superare la dimensione del codominio, pertanto $\psi$ non può essere iniettiva, quindi neanche invertibile.
Dal teorema di nullità + rango si può scrivere:

$\dim(\ker(\psi)) = 150 – "rank"(\psi)$

L’immagine è un sottospazio vettoriale del codominio, in questo caso quindi il rango, cioè la dimensione dell’immagine, può variare fra $0$ e $132$, di conseguenza è sempre verificata la disuguaglianza $\dim(\ker(\psi)) \ge 18$, pertanto la risposta al punto 7. è Sì.
$\psi$ è suriettiva se e solo se immagine e codominio coincidono, ovvero se il rango coincide con la dimensione di $\mathcal{V}$, cioè $132$. Sempre dal teorema di nullità + rango:

$"rank"(\psi) = 150 – "null"(\psi)$

Se $"null"(\psi) = 18$ allora $"rank"(\psi)=132$: in questo caso il rango coincide con la dimensione del codominio, e la trasformazione $\psi$ è suriettiva, pertanto la risposta alla domanda 8. è Sì.
Dal teorema di nullità + rango, applicato alla trasformazione $\phi$, si ottiene:

$132 = "null"(\varphi) + "rank"(\varphi)$

Se $"null"(\phi) = "rank"(\phi)$ si ottiene:

$2 \cdot "null"(\phi) = 132 \implies "null"(\phi) = "rank"(\phi) = 76$

Dato che $"null"(\phi), "rank"(\phi) \le \dim(\mathcal{V})$ e $"rank"(\phi) \le \dim(\mathcal{W})$, i risultati sono accettabili, e la risposta alla domanda 9. è ‘Sì’.
Se $"null"(\phi) = 2 \cdot "rank"(\phi)$ si ottiene:

$132 = 3 \cdot "rank"(\phi)$

cioè $"rank"(\phi) = 44$ e $"null"(\phi) = 88$. Dato che $"null"(\phi), "rank"(\phi) \le \dim(\mathcal{V})$ e $"rank"(\phi) \le \dim(\mathcal{W})$ i risultati sono accettabili e la risposta alla domanda 10. è Sì.

 

FINE 

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