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Siano

[math]\mathcal{V}[/math]
e
[math]\mathcal{W}[/math]
spazi vettoriali sullo stesso campo
[math]\mathcal{K}[/math]
e siano

[math]\phi: \mathcal{V} \to \mathcal{W}[/math]
,
[math]\\psi: \mathcal{W} \to \mathcal{V}[/math]

trasformazioni lineari da
[math]\mathcal{V}[/math]
a
[math]\mathcal{W}[/math]
e, rispettivamente, da
[math]\mathcal{W}[/math]
a
[math]\mathcal{V}[/math]
. Si assuma che

[math]dim(\mathcal{V}) = 132[/math]
,
[math]dim(\mathcal{W}) = 150[/math]

  1. È possibile che
    [math]\\psi \phi[/math]
    sia iniettiva?
  2. È possibile che
    [math]\\psi \phi[/math]
    sia suriettiva?
  3. È possibile che
    [math]\\psi \phi[/math]
    sia invertibile?
  4. È possibile che
    [math]\\psi[/math]
    sia suriettiva?
  5. È possibile che
    [math]\\psi[/math]
    sia iniettiva?
  6. È possibile che
    [math]\\psi[/math]
    sia invertibile?
  7. È possibile che
    [math]dim(ker(\\psi)) \ge 18[/math]
    ?
  8. È possibile che
    [math]\text{
    ull}(\phi) = \text{rank}(\phi)[/math]
    ?
  9. È possibile che
    [math]\text{
    ull}(\phi) = 2 \cdot \text{rank}(\phi)[/math]
    ?

Le trasformazioni
[math]\phi[/math]
e
[math]\\psi[/math]
sono componibili, perché il dominio di
[math]\\psi[/math]
coincide con il codominio di
[math]\phi[/math]
, e risulta:

[math]\\psi \phi: \mathcal{V} \\rightarrow \mathcal{V}[/math]

Dato che
[math]\\psi \phi[/math]
è un endomorfismo può essere sia iniettivo che suriettivo, quindi anche invertibile, pertanto le domande 1., 2., 3.
hanno risposta 'Sì'.

Per il teorema di nullità  + rango si può scrivere:

[math]dim(\mathcal{W}) = \text{
ull}(\\psi) + \text{rank}(\\psi)[/math]

cioè

[math]150 = \text{
ull}(\\psi) + \text{rank}(\\psi)[/math]

Se
[math]\\psi[/math]
fosse suriettiva risulterebbe
[math]rank(\\psi)=132[/math]
, e si troverebbe

[math]150 =
ull(\\psi) + 132[/math]

quindi

[math]
ull(\\psi) = 18[/math]

pertanto la trasformazione
[math]\\psi[/math]
può essere suriettiva. Se
[math]\\psi[/math]
fosse iniettiva risulterebbe
[math]\text{
ull}(\\psi) = 0[/math]
, e in questo caso si otterrebbe:

[math]150 = 0 + \text{rank}(\\psi)[/math]

assurdo, perché il rango di un'applicazione lineare non può superare la dimensione del codominio, pertanto
[math]\\psi[/math]
non può essere iniettiva, quindi neanche invertibile.

Dal teorema di nullità  + rango si può scrivere:

[math]dim(ker(\\psi)) = 150 - \text{rank}(\\psi)[/math]

L'immagine è un sottospazio vettoriale del codominio, in questo caso quindi il rango, cioè la dimensione dell'immagine, può variare fra
[math]0[/math]
e
[math]132[/math]
, di conseguenza è sempre verificata la disuguaglianza
[math]dim(ker(\\psi)) \ge 18[/math]
, pertanto la risposta al punto 7. è Sì.

[math]\\psi[/math]
è suriettiva se e solo se immagine e codominio coincidono, ovvero se il rango coincide con la dimensione di
[math]\mathcal{V}[/math]
, cioè
[math]132[/math]
. Sempre dal teorema di nullità  + rango:

[math]\text{rank}(\\psi) = 150 - \text{
ull}(\\psi)[/math]

Se
[math]\text{
ull}(\\psi) = 18[/math]
allora
[math]\text{rank}(\\psi)=132[/math]
: in questo caso il rango coincide con la dimensione del codominio, e la trasformazione
[math]\\psi[/math]
è suriettiva, pertanto la risposta alla domanda 8. è Sì.

Dal teorema di nullità  + rango, applicato alla trasformazione
[math]\phi[/math]
, si ottiene:

[math]132 = \text{
ull}(var\phi) + \text{rank}(var\phi)[/math]

Se
[math]\text{
ull}(\phi) = \text{rank}(\phi)[/math]
si ottiene:

[math]2 \cdot \text{
ull}(\phi) = 132 \implies \text{
ull}(\phi) = \text{rank}(\phi) = 76[/math]

Dato che
[math]\text{
ull}(\phi), \text{rank}(\phi) \le dim(\mathcal{V})[/math]
e
[math]\text{rank}(\phi) \le dim(\mathcal{W})[/math]
, i risultati sono accettabili, e la risposta alla domanda 9. è 'Sì'.

Se
[math]\text{
ull}(\phi) = 2 \cdot \text{rank}(\phi)[/math]
si ottiene:

[math]132 = 3 \cdot \text{rank}(\phi)[/math]

cioè
[math]\text{rank}(\phi) = 44[/math]
e
[math]\text{
ull}(\phi) = 88[/math]
. Dato che
[math]\text{
ull}(\phi), \text{rank}(\phi) \le dim(\mathcal{V})[/math]
e
[math]\text{rank}(\phi) \le dim(\mathcal{W})[/math]
i risultati sono accettabili e la risposta alla domanda 10. è Sì.

FINE