Risolvere la seguente equazione
$4|x-1|-x|x+1|=3x+x^2$
Quest’equazione ha dei valori assoluti, pertanto occorre studiare il segno dei rispettivi argomenti per osservare come si comportano, ricordando che
con $a>0$ abbiamo $|a|=a$
con $a<0$ abbiamo $|a|=-a$
Studiando il segno dei due valori assoluti
$|x-1|=x-1$ se $x-1>0 ->x>1$
$|x+1|=x+1$ se $x+1>0-> x> -1$
Peranto, otteniamo tre intervalli:
1) $x<-1$ per il quale
${(|x+1|=-x-1),(|x-1|=1-x):}$
2)$-1<=x<=1$ per il quale
${(|x+1|=x+1),(|x-1|=1-x):}$
3)$x>1$ per il quale
${(|x+1|=x+1),(|x-1|=x-1):}$
Iniziamo a svolgere l’equazione, lavorando nell’intervallo 1.
Avremo
$4(1-x)-x(-x-1)=3x+x^2$
ovvero
$4-4x+x+x^2=3x+x^2$
che diviene
$2=3x$
quindi $x=2/3$
Risultato non accettabile, perchè non appartiene all’intervallo che abbiamo considerato.
Consideriamo il secondo intervallo, l’equazione diventa
$4(1-x)-x(x+1)=3x+x^2$
semplice equazione di secondo grado che restituisce due radici
$x_1=-2-sqrt6$
$x_2=-2+sqrt6$
La prima soluzione non appartiene al nostro intervallo, la seconda si (vale circa 0,49).
Solo $sqrt6-2$ è accettabile.
Si consideri l’ultimo intervallo
Avremo
$4|x-1|-x|x+1|=3x+x^2$
che dopo semplificazioni diventa
$x^2=-2$
ovviamente assurda, perchè non ammette radici reali.
Ricapitolando, l’unica soluzione che soddisfa l’equazione è
$sqrt6-2$
FINE
Forse mi sbaglio, ma il risultato nel primo intervallo mi esce x = 2/3
4(1-x)-x(-x-1)=3x+x^2 4-4x+x^2+x=3x+x^2
4-4x+x-3x=0
6x=4
x=4/6 –> x= 2/3