francesco.speciale
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Dal punto

[math](-4;2)[/math]
condurre le tangenti all'ellisse
[math](x^2)/9+y^2=1[/math]
.

Svolgimento

Indichiamo con
[math]P[/math]
il punto di coordinate
[math](-4;2)[/math]
.

L'equazione
[math](x^2)/9+y^2=1[/math]
equivale a
[math]x^2+9y^2=9[/math]

La generica retta per
[math]P[/math]
ha equazione
[math]y-2=m(x+4)[/math]

Poniamo a sistema l'equazione della retta con quella dell'ellisse;

l'equazione risolvente il sistema dovr avere il discriminante nullo (condizione di tangenza)

[math]\egin{cases} y-2=m(x+4) \\ x^2+9y^2=9 \ \end{cases}[/math]
;

[math]\egin{cases} y=m(x+4)+2 \\ x^2+9(m(x+4)+2)^2=9 \ \end{cases}[/math]
;

[math]\egin{cases} y=m(x+4)+2 \\ x^2+9(m^2(x+4)^2+4+4m(x+4))=9 \ \end{cases}[/math]
;

[math]\egin{cases} y=m(x+4)+2 \\ x^2+9(m^2(x^2+16+8x)+4+4mx+16m)=9 \ \end{cases}[/math]
;

[math]\egin{cases} y=m(x+4)+2 \\ x^2+9(x^2m^2+16m^2+8xm^2+4+4mx+16m)=9 \ \end{cases}[/math]
;

[math]\egin{cases} y=m(x+4)+2 \\ x^2+9x^2m^2+144m^2+72xm^2+36+36mx+144m=9 \ \end{cases}[/math]
;

[math]\egin{cases} y=m(x+4)+2 \\ (1+9m^2)x^2+36mx(1+2m)+54m+27+144m^2=0 \ \end{cases}[/math]
;

Studiamo l'equazione di secondo grado

[math](\Delta)/4=(b/2)^2-ac=(18m(1+2m))^2-(54m+27+144m^2)(1+9m^2)=0[/math]
(condizione di tangenza)

Risolviamo l'equazione

[math](18m(1+2m))^2-(54m+27+144m^2)(1+9m^2)=0[/math]
;

[math]324m^2(1+4m^2+4m)-144m^2-144m-27-1296m^4-1296m^3-243m^2=0[/math]
;

[math]324m^2+1296m^4+1296m^3-387m^2-144m-27-1296m^4-1296m^3=0[/math]
;

Raccogliamo i termini simili

[math]-63m^2-144m-27=0[/math]
;

Cambiando di segno e semplificando

[math]7m^2+16m+3=0[/math]

Troviamo, ora, i valori di

[math]m[/math]
per cui vale l'equazione

[math]7m^2+16m+3=0[/math]

[math](\Delta)/4=(b/2)^2-ac=(8)^2-(7 \cdot 3)=64-21=43[/math]

[math]m_(1,2)=(-b/2+-\sqrt{(\Delta)/4})/a=(-8+-\sqrt(43))/7 => m_1=(-8+\sqrt(43))/7 ^^ m_2=(-8-\sqrt(43))/7[/math]
.

Pertanto l'equazioni delle rette passanti per
[math]P[/math]
e tangenti l'ellisse
[math](x^2)/9+y^2=1[/math]
saranno:

[math]y-2=(-8+-\sqrt{43})/7(x+4)[/math]
.