francesco.speciale
di francesco.speciale
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Determinare

[math]a[/math]
e
[math]b[/math]
in modo che l'iperbole di equazione
[math](x^2)/(a^2)-(y^2)/(b^2)=1[/math]
passi

per i punti
[math]A(-4\sqrt{10};9), B(8;-3\sqrt3)[/math]
.

Svolgimento

Dobbiamo verificare per quali valori di
[math]a[/math]
e
[math]b[/math]
, idue punti appartengono all'iperbole

[math]\gamma:=(x^2)/(a^2)-(y^2)/(b^2)=1[/math]

Se
[math]A in \gamma => (-4\sqrt{10})^2/(a^2)-(9)^2/(b^2)=1 => (160)/(a^2)-(81)/(b^2)=1[/math]

Se
[math]B in \gamma => (8)^2/(a^2)-(-3\sqrt3)^2/{b^2}=1 => (64)/(a^2)-(27)/{b^2}=1[/math]

Mettiamo a sistema le due equazioni e risolviamolo per sostituzione

[math]\egin{cases} (160)/(a^2)-(81)/(b^2)=1 \\ (64)/(a^2)-(27)/(b^2)=1 \ \end{cases}[/math]
;

[math]\egin{cases} (160)/(a^2)=(81)/(b^2)+1 \\ (64)/(a^2)-(27)/(b^2)=1 \ \end{cases}[/math]
;

[math]\egin{cases} 1/(a^2)=((81)/(b^2)+1)/(160) \\ (64)((81)/(b^2)+1)/(160)-(27)/(b^2)=1 \ \end{cases}[/math]
;

[math]\egin{cases} 1/(a^2)=((81)/(b^2)+1)/(160) \\ 2((81)/(b^2)+1)/5-(27)/(b^2)=1 \ \end{cases}[/math]
;

[math]\egin{cases} 1/(a^2)=((81)/(b^2)+1)/(160) \\ 2((81)/(b^2)+1) \cdot 1/5-(27)/(b^2)=1 \ \end{cases}[/math]
;

[math]\egin{cases} 1/(a^2)=((81)/(b^2)+1)/(160) \\ (162)/(5b^2)-(27)/(b^2)=1-2/5 \ \end{cases}[/math]
;

[math]\egin{cases} 1/(a^2)=((81)/(b^2)+1)/(160) \\ ((162)/5-27)(b^2)=3/5 \ \end{cases}[/math]
;

[math]\egin{cases} 1/(a^2)=((81)/(b^2)+1)/(160) \\ (27)/5b^2=3/5 \ \end{cases}[/math]
;

[math]\egin{cases} 1/(a^2)=((81)/9+1)/(160) \\ b^2=9 \ \end{cases}[/math]
;

[math]\egin{cases} 1/(a^2)=(10)/(160)=1/(16) \\ b^2=9 \ \end{cases} => {(a^2=16),(b^2=9):}[/math]
.

Pertanto
[math]a=4[/math]
e
[math]b=3[/math]
.
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