Scrivere l'equazione della circonferenza passante per i punti
[math](-3;3), (1;-1), (1;3)[/math]
. Svolgimento Indichiamo i tre punti
[math](-3;3), (1;-1), (1;3)[/math]
con [math]A, B, C[/math]
Innanzi tutto occorre verificare che i tre punti dati non sono allineati. La condizione di allineamento di tre punti di coordinate [math](x_1;y_1);(x_2;y_2);(x_3;y_3)[/math]
è: [math](y_3-y_1)/(y_2-y_1)=(x_3-x_1)/(x_2-x_1)[/math]
Quindi occorrerà verificare che sia [math](y_3-y_1)/(y_2-y_1)!=(x_3-x_1)/(x_2-x_1)[/math]
, ovvero [math](3-3)/(-1+3)!=(1+3)/(1+3) => 0!=1[/math]
. Essendo vera la relazione
[math]0!=1[/math]
, resta verificato che i tre punti dati non sono allineati. Consideriamo ora l'equazione di una circonferenza generica [math]x^2+y^2+\alphax+\betay+\gamma=0[/math]
; se vogliamo che la curva passi per i punti [math]A,B,C[/math]
dobbiamo imporre che le coordinate di questi punti soddisfino la sudetta equazione; indicando con [math]\delta[/math]
la circonferenza cercata, avremo [math]A(-3;3) in \delta => (-3)^2+3^2+(\alpha) \cdot (-3)+(\beta) \cdot 3+\gamma=0 => 9+9-3alfa+3\beta+\gamma=0 => 3\beta-3alfa+\gamma+18=0[/math]
. [math]B(1;-1) in \delta => 1^2+(-1)^2+(\alpha) \cdot 1+(\beta) \cdot (-1)+\gamma=0 => (\alpha)-(\beta)+\gamma+2=0[/math]
. [math]C(1;3) in \delta => 1^2+3^2+(\alpha) \cdot 1+(\beta) \cdot 3+\gamma=0 => (\alpha)+3(\beta)+\gamma+10=0[/math]
. Ponendo a sistema le tre condizioni trovate e risolvendo avremo
[math]\egin{cases} 3\beta-3alfa+\gamma+18=0 \\ (\alpha)-(\beta)+\gamma+2=0 \\ (\alpha)+3(\beta)+\gamma+10=0 \ \end{cases}[/math]
; [math]\egin{cases} -3\beta+3alfa-18=\gamma \\ (\alpha)-(\beta)-3\beta+3alfa-18+2=0 \\ (\alpha)+3(\beta)-3\beta+3alfa-18+10=0 \ \end{cases}[/math]
; [math]\egin{cases} -3\beta+3alfa-18=\gamma \\ 4(\alpha)-4(\beta)-16=0 \\ 4(\alpha)=8 \ \end{cases}[/math]
; [math]\egin{cases} -3\beta+3 \cdot 2-18=\gamma \\ 4 \cdot 2-4(\beta)-16=0 \\ \alpha=2 \ \end{cases}[/math]
; [math]\egin{cases} -3\beta-12=\gamma \\ 4(\beta)=-8 \\ \alpha=2 \ \end{cases}[/math]
; [math]\egin{cases} \gamma=-3 \cdot (-2)-12=-6 \\ \beta=-2 \\ \alpha=2 \ \end{cases}[/math]
; Perciò sostituendo i valori trovati nell'aquazione generica si ha: [math]x^2+y^2+2x-2y-6=0[/math]
Quest'ultima rappresenta l'equazione della circonferenza passante per i punti
[math](-3;3), (1;-1), (1;3)[/math]
.
