Scrivere l'equazione della circonferenza passante per
[math]O(0;0)[/math]
e con il centro nel punto di intersezione delle rette [math]2x-y-1=0[/math]
e [math]x+y-5=0[/math]
. Svolgimento
Troviamo il punto d'intersezione della coppia di rette:
[math]x-3y-1=0[/math]
e [math]x+2=0[/math]
Mettiamo a sistema le due equazioni e risolviamolo per sostituzione:
[math]\egin{cases} 2x-y-1=0 \\ x+y-5=0 \ \end{cases}[/math]
; [math]\egin{cases} 2(5-y)-y-1=0 \\ x=5-y \ \end{cases}[/math]
; [math]\egin{cases} 10-2y-y-1=0 \\ x=5-y \ \end{cases}[/math]
; [math]\egin{cases} 3y=9 \\ x=5-y \ \end{cases}[/math]
; [math]\egin{cases} y=3 \\ x=5-3=2 \ \end{cases}[/math]
; Pertanto il punto d'intersezione sarà [math]A(2;3)[/math]
. Troviamo il punto d'intersezione della coppia di rette:
[math]x-2y=0[/math]
e [math]x-2=0[/math]
Mettiamo a sistema le due equazioni e risolviamolo per sostituzione:
[math]\egin{cases} x-2y=0 \\ x-2=0 \ \end{cases}[/math]
; [math]\egin{cases} 2-2y=0 \\ x=2 \ \end{cases}[/math]
; [math]\egin{cases} 2y=2 \\ x=2 \ \end{cases} => {(y=1),(x=2):}[/math]
. Pertanto il punto d'intersezione sarà [math]C(2;1)[/math]
. Quindi il centro della circonferenza richiesta sarà
[math]c(2:1)[/math]
. Calcoliamo, ora, il raggio della circonferenza di centro [math]C(2;1)[/math]
e passante per l'origine, ovvero la distanza di [math]C[/math]
da [math]O[/math]
. La distanza tra due punti è uguale alla radice quadrata della somma dei quadrati delle differenze delle coordinate omonime dei due punti, in formule: [math]d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}[/math]
. Quindi [math]\bar{CO}=\sqrt{(0-2)^2+(0-3)^2}=\sqrt((-2)^2+(-3)^2)=\sqrt(4+9)=\sqrt(13)[/math]
. Troviamo, quindi l'equazione della circonferenza di centro [math]C(2;1)[/math]
e raggio [math]\sqrt{13}[/math]
. La circonferenza è il luogo dei punti del piano la cui distanza da un punto fisso, detto centro,
è congruente a un prefissato segmento (non nullo) detto raggio. In formule, l'equazione della circonferenza di centro[math](x_0;y_0)[/math]
e di raggio [math]r[/math]
, sarà : [math](x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2[/math]
Sostituiamo alla formula generale i dati a noi noti, e otteniamo: [math](x-2)^2+(y-3)^2=(\sqrt{13})^2[/math]
; Sviluppiamo le parentesi e raccogliamo i termini simili [math]x^2+4-4x+y^2+9-6y=13[/math]
; [math]x^2+y^2-4x-6y=0[/math]
quest'ultima rappresenta l'equazione della circonferenza passante per [math]O(0;0)[/math]
e con il centro nel punto di intersezione delle rette [math]2x-y-1=0[/math]
e [math]x+y-5=0[/math]
.
