Scrivere l'equazione della parabola, con asse di simmetria parallelo all'asse
[math]y[/math]
, passante per i punti [math](1;0),(3;0),(4;3)[/math]
. Svolgimento
Indichiamo con[math]A,B,C[/math]
i punti di coordinate rispettivamente [math](1;0),(3;0),(4;3)[/math]
. Scritta l'equazione di una parabola generica con l'asse di simmetria parallelo rispetto all'asse [math]y[/math]
, ovvero [math]y=ax^2+bx+c[/math]
chiamiamo [math]\delta[/math]
questa equazione. Dobbiamo imporre che i punti [math]A(1;0),B(3;0),C(4;3)[/math]
appartengano alla parabola, cioè che le coordinate dei punti soddisfino l'equazione della parabola. Sostituendo successivamente a [math]x[/math]
e a [math]y[/math]
le coordinate dei tre punti dati, si ha: [math]A(1;0) in \delta => a+b+c=0[/math]
[math]B(3;0) in \delta => 9a+3b+c=0[/math]
[math]C(4;3) in \delta => 16a+4b+c=3[/math]
Mettiamo ora a sistema le tre equazioni e risolviamo per sostituzione
[math]\egin{cases} a+b+c=0 \\ 9a+3b+c=0 \\ 16a+4b+c=3 \ \end{cases}[/math]
; [math]\egin{cases} a=-b-c \\ 9(-b-c)+3b+c=0 \\ 16(-b-c)+4b+c=3 \ \end{cases}[/math]
; [math]\egin{cases} a=-b-c \\ -9b+9c+3b+c=0 \\ -16b+16c+4b+c=3 \ \end{cases}[/math]
; [math]\egin{cases} a=-b-c \\ -6b=8c \\ -15c-12b=3 \ \end{cases}[/math]
; [math]\egin{cases} a=-b-c \\ b=-4/3c \\ -15c-12(-4/3c)=3 \ \end{cases}[/math]
; [math]\egin{cases} a=-b-c \\ b=-4/3c \\ -15c+16c=3 \ \end{cases}[/math]
; [math]\egin{cases} a=4-3 \\ b=-4/3 \cdot 3=-4 \\ c=3 \ \end{cases} => {(a=1),(b=4),(c=3):}[/math]
. Quindi l'equazione della parabola richiesta sarà [math]y=x^2-4x+3[/math]
.
