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- il modello di Lorenz per le previsioni meteorologiche;
- il modello Preda - Predatore di Volterra;
- il modello di competizione per il cibo di Volterra;
- il modello di May e una sua estensione bi-dimensionale;
- il dilemma del prigioniero e l'equilibrio di Nash;
- l'alternativa cooperazione/competizione nelle organizzazioni.
E' disponibile il foglio Excel che permette al lettore di effettuare simulazioni con i propri parametri e le proprie condizioni iniziali.
Abstract
Discrete Dynamic Systems (DDS) : Recurrence Maps
(Roberto Chiappi)
This article, written in plain style and addressed to non specialist readers, has broadly educational purposes. The issues which are brought up belong to the field of applied mathematics and include:
- mathematic biology;
- dynamic systems;
- management and team work.
The subjects discussed include:
- the Lorenz weather forecast model;
- the Volterra predator / prey model;
- the Volterra competition for food model;
- the May Logistic model and two-dimensional extension;
- the Prisoner's Dilemma and Nash equilibrium;
- the cooperation vs competition alternative in organizations.
Introduzione: Mappe ed Equazioni differenziali
Una mappa di ricorrenza è sostanzialmente una regola che determina lo stato del sistema al tempo
La discretizzazione non è affatto innaturale, si pensi ad esempio al computo degli interessi finanziari, e alle relative capitalizzazioni, che possono essere annue, semestrali, mensili ecc. Anche se concettualmente nulla lo impedisce, esistono anche tavole per il calcolo continuo degli interessi, nessuno penserebbe però nella realtà odierna ad un tale computo.
I sistemi dinamici continui sono invece retti da equazioni differenziali del tipo:
Le equazioni differenziali, più complesse da trattare delle mappe, nascono ai tempi di Leibnitz e Newton mentre le mappe, più semplici, nascono negli anni 60-70 dello scorso secolo, soprattutto grazie alla diffusione dei computer digitali (i computer analogici, che trattavano variabili continue, sono presto andati in pensione in quanto i loro risultati potevano essere simulati meglio/più efficientemente sui calcolatori digitali).
I due tipi di sistemi dinamici, discreti e continui, non sono completamente slegati come potrebbe sembrare a prima vista. Si può sovente mostrare che le differenze tra i due è più apparente che sostanziale in quanto le caratteristiche essenziali di una equazione differenziale possono essere sovente tradotti in termini di una mappa ricorrente. L'idea di ridurre le equazioni differenziali ad una mappa, per studiarne gli aspetti qualitativi salienti (punti fissi, attrattori periodici o caotici) è dovuta a Poincaré anche se in precedenza Eulero aveva mostrato come approssimare una equazione differenziale mediante equazioni alle differenze finite, che sono del tutto simili alle mappe ricorsive.
Aprossimazione di Eulero
essendo
Modello di Lorenz
Negli anni 50-60 dello scorso secolo un metereologo matematico, Edward Lorenz, studiando l'evoluzione delle condizioni meteo, giunse a formulare il seguente sistema di equazioni differenziali per le previsioni meteorologiche:
Si racconta che un giorno Lorenz, volendo riprendere e prolungare una simulazione effettuata nei giorni precedenti, avesse reinserito nel suo computer i valori numerici ottenuti a metà simulazione (all'epoca i computer stampavano/calcolavano al massimo tre/sei cifre decimali). Con grande stupore Lorenz osservò che la nuova simulazione non ripercorreva i valori numerici della precedente, ma al contrario ben presto divergeva inspiegabilmente da essi. All'inizio pensò ad un errore, ma così non era. C'era qualcosa insito nel sistema dinamico in studio (Il meteo). In successive conferenze Lorenz parlò di dipendenza forte dalle condizioni iniziali e dell'effetto farfalla forse ispirato dal diagramma generato dall'attrattore (caotico) di Lorenz, che somiglia proprio a tale insetto. "Può, il batter d'ali di una farfalla in Brasile, provocare un tornado in Texas?", fu il titolo di una conferenza da lui tenuta nel 1972.
Già nel secolo precedente H.Poincaré aveva scritto:
"Una causa piccolissima che sfugga alla nostra attenzione determina un effetto considerevole che non possiamo mancar di vedere… può accadere che piccole differenze nelle condizioni iniziali ne producano di grandissime nei fenomeni finali. Un piccolo errore nelle prime produce un errore enorme nei secondi. La previsione diviene impossibile e si ha un fenomeno fortuito".
Le intuizioni ed i lavori di Poincaré furono riscoperti negli anni 50 - 70 dello scorso secolo. Essi, grazie anche ai miglioramenti continui della capacità di memoria e dei tempi di calcolo dei computer digitali, portarono alla nascita di un nuovo paradigma scientifico: "il Caos deterministico". Sino a quel momento si pensava che determinismo (in antitesi ai modelli probabilistici) e predicibilità dei fenomeni, fossero la stessa cosa. Laplace aveva affermato, pensando alle equazioni differenziali, che una mente superiore, in grado di conoscere in un certo istante posizione e velocità di tutte le particelle dell'universo, avrebbe potuto prevederne ogni sviluppo futuro. Così non è; infatti come aveva ben intuito Poincaré, un piccolo errore nella valutazione delle condizioni iniziali può comportare una evoluzione del sistema del tutto imprevedibile (benché esso sia completamente deterministico).
Toccheremo con mano questo fenomeno scrivendo, nel seguito, della mappa logistica del biologo evoluzionista Robert May e di una sua possibile generalizzazione bi-dimensionale.
La mappa di Henon
Si tratta di una mappa bidimensionale, proposta nel 1976 dall'\astronomo Henon, con lo scopo di fornire un modello, il più semplice possibile, capace di mostrare le proprietà essenziali dell'attrattore strano presente nel modello di Lorenz. In particolare, la mappa giocò un ruolo fondamentale per capire la struttura geometrica del modello di Lorenz.
Henon Assistendo ad una conferenza di Lorenz sugli "attrattori strani", pensò che queste nuove teorie matematiche, potessero spiegare i risultati da lui ottenuti nel 1962 osservando il movimento delle stelle all'interno di una galassia. Studiando il ritratto di fase della sua mappa (ottenuta con 10.000 iterazioni; noi ci fermeremo a 100, ma chi lo desidera può estenderle utilizzando lo stesso foglio Excel) Henon osservò che essa presentava caratteristiche di auto somiglianza (il dettaglio riproduce l'intero insieme) e che pertanto aveva una tipica struttura frattale. Tale figura era un attrattore caotico che venne chiamato "attrattore strano di Henon".
Mappa di Henon
La mappa, con
Valore numerico delle prime 10 Iterazioni
Iteraz [math]n[/math] | [math]X_n[/math] | [math]Y_n[/math] |
0 | 0 | 0 |
1 | 1 | 0 |
2 | -0.4 | 0.3 |
3 | 1.076 | -0.12 |
4 | -0.74089 | 0.3228 |
5 | 0.554322 | -0.22227 |
6 | 0.347552 | 0.166297 |
7 | 0.997188 | 0.104265 |
8 | -0.28787 | 0.299156 |
9 | 1.183139 | -0.08636 |
10 | -1.0461 | 0.354942 |
Grafico delle prime 100 iterazioni:
Ritratto di fase delle prime 100 iterazioni:
Il Modello Preda-Predatore
La nascita della ecologia matematica si fa usualmente coincidere con gli anni 30 dello scorso secolo quando il biologo Umberto D'Ancona, coinvolse il suocero e matematico Vito Volterra, nello studio di alcune fluttuazioni osservate nella popolazione dei pesci in Adriatico. I biologi del tempo cercavano di mettere in relazione tali fluttuazioni con i vari fattori esogeni come il clima, la pesca o la quantità di nutrienti presenti in mare. L'approccio di Volterra fu completamente diverso. Ipotizzò infatti un sistema di prede e predatori viventi nella stessa nicchia ecologica. L'approccio dunque da esogeno divenne endogeno (interno al sistema), ma il successo fu decretato, oltre che dalla semplicità, dalla capacità del modello matematico di descrivere molto bene le fluttuazioni periodiche delle popolazioni di prede e predatori. Il modello ha avuto poi numerose conferme sia in laboratorio (culture batteriche), sia in natura nel rapporto tra Erbivori e Carnivori che condividevano lo stesso territorio. In particolare esso è stato applicato con successo alla analisi dell'andamento delle popolazioni di Lepri e Linci in alcune regioni del Canada.
Volterra (e Lotka che era poco prima arrivato alle sue stesse conclusioni) descrisse il modello in termini di equazioni differenziali. La trattazione originale è ben riassunta nell'articolo di Hume, pubblicato su www.skuola.net di cui si riferisce in bibliografia. Nel seguito invece il modello di Volterra è rappresentato in termini discreti (ore, giorni, settimane, mesi, anni…) mediante mappe.
Modello di Volterra
[math]X_{n + 1} = X_n\cdot (1 + r) - s\cdot X_n^2 - b\cdot X_n \cdot Y_n[/math] |
[math]Y_{n + 1} = Y_n\cdot (-e + c \cdot X_n)[/math] |
Siano
La densità (
La densità
Il Punto Fisso
Il concetto di "punto fisso" è trasversale nella matematica applicata e tocca discipline diverse come: il calcolo numerico, la teoria dei giochi, l'ottimizzazione, le equazioni differenziali, i sistemi dinamici discreti, ecc. Un punto fisso può essere un attrattore o un repulsore.
Nelle equazioni differenziali un punto fisso coincide con un punto di stazionarietà, dunque,
ad esempio, i punti che soddisfano le condizioni:
Nelle mappe ricorrenti un punto fisso si ha quando l'iterazione successiva è uguale alla precedente. Vediamone l'applicazione al sistema discreto, tratto dal modello di Volterra, in cui si trovano punti fissi se:
[math]X_{n + 1} = X_n[/math] |
[math]Y_{n + 1} = Y_n[/math] |
Dunque se:
[math] \displaystyle X_n\cdot (1 + r) - s\cdot X_n^2 - b\cdot X_n\cdot Y_n = X_n [/math] |
[math] \displaystyle Y_n\cdot (-e + c\cdot X_n) = Y_n) [/math] |
Riscrivendo in forma fattorizzata:
[math] \displaystyle X_n\cdot (r - s\cdot X_n - b\cdot Y_n) = 0 [/math] |
[math]\displaystyle Y_n\cdot (-e -1 + c\cdot X_n) = 0 [/math] |
Risolvendo si trovano tre Punti Fissi:
1° Simulazione:
Assumiamo i seguenti parametri per la simulazione:
r = | 0.5 |
s = | 0.21 |
b = | 1 |
e = | 0.6 |
c = | 1 |
e condizioni iniziali di bassa densità sia per le prede (
Valore numerico delle prime 10 Iterazioni:
Iteraz. n | [math]X_n[/math] | [math]Y_n[/math] |
0 | 1 | 0.5 |
1 | 0.79 | 0.2 |
2 | 0.895939 | 0.038 |
3 | 1.141294 | 0.011246 |
4 | 1.425571 | 0.006087 |
5 | 1.702906 | 0.005025 |
6 | 1.936824 | 0.005543 |
7 | 2.106731 | 0.007409 |
8 | 2.21244 | 0.011164 |
9 | 2.266033 | 0.018001 |
10 | 2.279928 | 0.029991 |
Grafico delle prime 100 iterazioni:
All'inizio, si osservi, i predatori (
Ritratto di fase delle prime 100 iterazioni:
Il grafico mostra chiaramente come, partendo dalla condizione iniziale
2° Simulazione:
Cambiando leggermente il parametro
r = | 0.5 |
s = | 0.18 |
b = | 1 |
e = | 0.6 |
c = | 1 |
Valore numerico delle prime 10 Iterazioni:
Iteraz. n | [math]X_n[/math] | [math]Y_n[/math] |
0 | 1 | 0.5 |
1 | 0.82 | 0.2 |
2 | 0.944968 | 0.044 |
3 | 1.21514 | 0.015179 |
4 | 1.538484 | 0.009337 |
5 | 1.867313 | 0.008763 |
6 | 2.156973 | 0.011105 |
7 | 2.37405 | 0.01729 |
8 | 2.505527 | 0.030673 |
9 | 2.551458 | 0.058449 |
10 | 2.506267 | 0.114061 |
Grafico delle prime 100 iterazioni:
Ritratto di fase delle prime 100 iterazioni:
3° Simulazione
Effettuiamo un terza simulazione per comprendere meglio il significato della scomparsa dell'attrattore punto fisso e del nuovo attrattore periodico. I parametri sono ovviamente identici a quelli della seconda simulazione.
r = | 0.5 |
s = | 0.18 |
b = | 1 |
e = | 0.6 |
c = | 1 |
Con questi valori dei parametri il punto fisso diviene:
Valore numerico delle prime 10 Iterazioni:
Iteraz. n | (X_n) | (Y_n) |
0 | 1.5 | 0.3 |
1 | 1.395 | 0.27 |
2 | 1.365566 | 0.21465 |
3 | 1.419571 | 0.164329 |
4 | 1.533348 | 0.134679 |
5 | 1.670304 | 0.125702 |
6 | 1.79331 | 0.13454 |
7 | 1.869821 | 0.160548 |
8 | 1.875215 | 0.203867 |
Grafico delle prime 100 iterazioni:
Ritratto di fase delle prime 100 iterazioni:
Le oscillazioni si ampliano progressivamente sino a raggiungere l'ampiezza di quelle della simulazione precedente (la 2°) per poi restare stazionarie. Il ritratto di fase mostra una spirale crescente che dal punto iniziale
Anche se partissimo dal punto
Una storiella dello scorso secolo:
Nel 1985 sull'Economist comparve questa breve storia diretta al mondo del business e poi diffusasi anche in Italia all'interno di alcune grandi aziende:
"Ogni mattina, in Africa, si svegliano un leone ed una gazzella. Il leone sa che deve correre più veloce della gazzella, altrimenti morirà di fame. La gazzella sa che deve correre più veloce del leone, altrimenti sarà mangiata. Che tu sia leone o gazzella, impara comunque a correre!".
Il sociologo Domenico De Masi, nel suo libro "Il futuro del lavoro" (Rizzoli, Milano 1999) si divertì, con una provocazione diretta al mondo del business, a rovesciare la storia:
"Appena sorgerà il sole, il leone e la gazzella diventeranno amici e non fu più necessario che, ai primi raggi, l'uno e l'altra comincino a correre. Perché, nella società postindustriale, se la gazzella non correrà più del leone, non verrà sbranata. Né il leone, se non correrà più della gazzella, morirà di fame".
Raccontando al contrario la storiella, che alcuni manager avevano incorniciato dietro la loro scrivania, De Masi criticava taluni eccessi della competizione che trascurano i benefici della cooperazione all'interno delle organizzazioni: "nella società postindustriale noi dobbiamo sostituire la competitività distruttiva che si fa in nome del mercato e della carriera con l'emulazione solidale, che è cosa completamente diversa".
Competizione per il cibo tra due Specie
Nel 1927 Volterra, aveva proposto, sempre usando le equazioni differenziali, un altro fondamentale modello della ecologia matematica, che descrive la dinamica di due popolazioni appartenenti alla stessa nicchia ecologica che competono anche per lo stesso cibo. Per intendersi non esiste, in questo caso, alcun rapporto preda-predatore, semplicemente le due specie si nutrono dello stesso cibo. Possono essere due erbivori, due carnivori, ecc.
L'interazione tra le due popolazioni prevede un termine negativo delle due densità
X | Densita Popolazione 1 |
Y | Densità Popolazione 2 |
[math]X_{n + 1} = X_n \cdot (a - s \cdot X_n - b \cdot Y_n)[/math] |
[math]Y_{n + 1} = Y_n \cdot (e - d \cdot Y_n - c \cdot X_n)[/math] |
Si vedrà che l'evoluzione dinamica delle due specie porta a confermare l'ipotesi di G.F. Gause, discussa poi da Darwin, secondo il quale due specie non possono convivere a lungo nella stessa nicchia ecologica, se hanno le stesse esigenze di cibo: in questo caso quella minoritaria, come numerosità iniziale, o più debole (nella capacità di riproduzione-mortalità) è destinata a scomparire. Si tratta del famoso principio della sopravvivenza della specie più adatta.
1° Simulazione
Essendo il modello simmetrico per le due specie se i rispettivi parametri sono uguali (2,2,3)
a = | 2 |
s = | 2 |
b = | 3 |
e = | 2 |
d = | 2 |
c = | 3 |
e se le condizioni iniziali sono le stesse (sotto
Iteraz. n | (X_n) | (Y_n) |
0 | 0.2 | 0.2 |
1 | 0.2 | 0.2 |
2 | 0.2 | 0.2 |
3 | 0.2 | 0.2 |
4 | 0.2 | 0.2 |
5 | 0.2 | 0.2 |
6 | 0.2 | 0.2 |
7 | 0.2 | 0.2 |
8 | 0.2 | 0.2 |
9 | 0.2 | 0.2 |
10 | 0.2 | 0.2 |
Questa situazione di equilibrio tra le due specie si ottiene anche per valori iniziali inferiori (Es. 0.1) o superiori (Es. 0.3) a 0.2. Per valori di densità elevati il modello perde di validità mostrando presto valori negativi o infiniti nello sviluppo della densità delle specie. Il lettore interessato può facilmente verificare, con il foglio Excel, quanto scritto.
Possiamo rappresentare la situazione nello spazio X,Y riportato sotto. Finché restiamo sulla bisettrice tracciata in nero (uguali densità iniziali per le due specie) abbiamo una situazione di equilibrio.
Il grafico vuole però anche indicare che, se ci scostiamo anche di poco dalla situazione di equilibrio, la specie che parte svantaggiata è destinata, più o meno rapidamente, ad estinguersi. Dunque l'equilibrio è da intendersi come instabile e la bisettrice va pensata come uno stretto crinale scostandosi dal quale si finisce nel burrone. Si parla, più propriamente, del luogo dei punti di biforcazione nel comportamento del sistema: da un lato estinzione della specie X, dall'altro estinzione della specie Y.
2° Simulazione
Per mostrare questa tendenza all'estinzione della popolazione minoritaria assumiamo che, a parità di tutti gli altri parametri, sia
Iteraz. n | [math]X_n[/math] | [math]Y_n[/math] |
0 | 0.19 | 0.2 |
1 | 0.1938 | 0.206 |
2 | 0.192715 | 0.20736 |
3 | 0.191268 | 0.208839 |
4 | 0.189536 | 0.210618 |
5 | 0.187465 | 0.212757 |
6 | 0.18499 | 0.21533 |
7 | 0.182036 | 0.218424 |
8 | 0.178515 | 0.222147 |
9 | 0.174325 | 0.226626 |
10 | 0.169352 | 0.232013 |
Si può osservare che già alla decima iterazione vi sia una significativa divergenza tra l'entità delle due popolazioni:
Il ritratto di fase mostra sostanzialmente la stessa cosa: partendo dal punto
3° Simulazione
Vogliamo ora mostrare che, cambiando i valori dei parametri, si possono ottenere situazioni in cui una specie vince la competizione pur partendo da condizioni iniziali svantaggiate (nell'esempio
Parametri della simulazione:
a = | 2 |
s = | 2 |
b = | 4.5 |
e = | 2 |
d = | 2 |
c = | 3 |
Valore numerico delle prime 10 Iterazioni:
Iteraz. n | [math]X_n[/math] | [math]Y_n[/math] |
0 | 0.4 | 0.2 |
1 | 0.12 | 0.08 |
2 | 0.168 | 0.1184 |
3 | 0.190042 | 0.149089 |
4 | 0.180352 | 0.168724 |
5 | 0.158717 | 0.189223 |
6 | 0.131904 | 0.216737 |
7 | 0.100363 | 0.253759 |
8 | 0.065974 | 0.302327 |
9 | 0.033487 | 0.362013 |
10 | 0.010179 | 0.425551 |
Già alla decima iterazione la numerosità delle due specie è quasi rovesciata: X da 0.4 a 0.01; Y da 0.2 ad oltre 0.4. Il grafico delle prime 100 iterazioni ed il Ritratto di fase confermano che, con questi dati, la specie X, pur partendo avvantaggiata, è destinata ad estinguersi e la specie Y ad occupare l'intera nicchia ecologica con un valore di densità Y = 0.5. Ancora una volta il modello è in accordo con il principio della sopravvivenza del più adatto, che è uno dei punti centrali di discussione nella teoria della evoluzione di Darwin.
Grafico delle prime 100 iterazioni:
Ritratto di fase delle prime 100 iterazioni:
Il risultato ottenuto è riferito ad un ecosistema, assunto implicitamente come dato e costante, nel quale vivono le due specie. Tuttavia una cambiamento dell'ecosistema può cambiare la posizione relativa delle due specie nella competizione per la sopravvivenza. Quella che prima era più adatta può divenire ora meno adatta e quindi essere destinata all'estinzione.
La mappa logistica
La biologia evoluzionistica aveva, nel secondo dopoguerra, bisogno di nuovi paradigmi e modelli, e le equazioni differenziali, continue per natura, erano spesso troppo complicate, quindi irrisolvibili. Mediante l'uso di metodi numerici a queste si sostituirono equazioni discrete, chiamate anche equazioni alle differenze finite, risolubili spesso in maniera ricorsiva. Esse possono essere usate per modellare sistemi che evolvono in maniera discreta. Un esempio semplice può essere quello di voler calcolare il numero di individui presenti negli anni, partendo da un dato anno, dove la dipendenza dell'anno corrente deriva solamente dal numero di individui dell'anno precedente (mappe del primo ordine). Se…
dove K è un parametro dipendente dal tasso di crescita al netto di quello di mortalità. Come scritto all'inizio, questo è il modello maltusiano di crescita esponenziale di una popolazione, con cibo infinito e senza alcun altro vincolo dovuto agli spazi e ad altre risorse limitate. Secondo questo modello, analogo a quello di crescita degli interessi in matematica finanziaria, la popolazione è destinata, se K è maggiore di 1, ad aumentare indefinitamente. E' facile comprendere che le popolazioni, nel mondo reale non si possono comportare in questa maniera. Vi sono infatti molti fenomeni che possono modificare la evoluzione di una popolazione, facendola anche decrescere, dopo un certo tempo. Le cause potrebbero essere, la scarsità di cibo, le malattie, la diminuzione della fertilità, l'interazione con altre specie, ecc.. Più realistica appare una funzione che fa crescere la popolazione fino ad un determinato limite per poi assestarsi, eventualmente anche con oscillazioni, attorno ad un determinato valore di equilibrio.
Una tale funzione, denominata modello logistico (da non confondere con la funzione continua logistica di Verhulst risalente al 1838), è stata studiata dal biologo e matematico Robert May negli anni 70 dello scorso secolo. Si tratta di una mappa monodimensionale. Chiamando X la percentuale (compresa tra 0 ed 1) numerica di una popolazione,
Punti fissi:
Nel caso delle mappe monodimensionali i punti fissi sono dati dalla soluzione dell'equazione:
dunque nel caso della logistica da:
Un punto fisso banale si trova per
Se
da cui:
che è il punto fisso significativo e dipendente dal valore di K.
Andamenti della popolazione al variare di K:
- Se: [math] K \lt 1 [/math]la popolazione, partendo da[math]X_o[/math]tende ad estinguersi.
- Se: [math] 1 \lt K \lt 2 [/math]si tende al punto fisso attrattore[math](K - 1)/K[/math], indipendentemente da[math]X_o[/math]
- Se: [math] 2 \lt K \lt 3 [/math]si hanno oscillazioni smorzate tra valori inferiori e superiori a[math](K -1)/K[/math]
- Se: [math] 3 \lt K \lt 3.45 [/math]la popolazione continua ad oscillare permanentemente tra un massimo ed un minimo. E' come se il punto fisso si fosse sdoppiato.
- Se: [math] 3.45 \lt K \lt 3.57 [/math]si hanno dei continui sdoppiamenti di periodo.
- Se: [math] 3.57 \lt K \lt 4 [/math]il sistema diventa caotico ed imprevedibile. Il punto fisso non esiste più.
- Se: K > 4 il sistema diverge, si distrugge o quantomeno perde significato fisico, biologico od economico.1
Coesistenza tra due Specie
Pensate alle tigri e agli elefanti. Non competono per il cibo, le tigri sono carnivore e gli elefanti no, ne sono uno preda dell'altro. Difficilmente una tigre osa aggredire un elefante, a meno che non si tratti di un cucciolo o di un individuo malato isolato dal branco. L'elefante è molto più lento della tigre nei movimenti, ma è dotato di una spessa corazza a prova degli artigli e dei denti della tigre; inoltre se la tigre arriva alla portata della sua proboscide può facilmente avere spezzata la sua colonna vertebrale. Insomma se una tigre assetata vede in riva ad un fiume un branco di elefanti, che si fanno la doccia, preferisce spostarsi in un'altra ansa dello stesso fiume dove, magari può incontrare un branco di zebre.
Da ragazzino avevo in casa un gatto e una tartaruga. Il gatto aveva la sua ciotola con carne o pesce e la tartaruga gli avanzi di vari tipi di insalate. Mangiavano insieme senza problemi. Ogni tanto, soprattutto quando era stata messa la cera sul pavimento, il gatto si divertiva con le zampate a far scivolare, e poi con un balzo dall'altro lato, a intercettare la tartaruga. La tartaruga ritirava zampe e testa nella sua casa e aspettava pazientemente che il gioco finisse.
Molti altri esempi si potrebbero fare: mosche e api che, soprattutto in campagna, condividono lo stesso habitat, ma non sono né nel rapporto preda-predatore né in competizione per il cibo.
Nel seguito si è provato a modellare, con una mappa logistica bi-dimensionale, la coesistenza di due specie che sono in interazione per l'habitat.
0 < X < 1 | % di Numerosità della popolazione X rispetto al Max | |||
0 < Y < 1 | % di Numerosità della popolazione Y rispetto al Max | |||
1 - X | % di espansione rimanente per la popolazione X | |||
1 - Y | % di espansione rimanente per la popolazione Y | |||
Modello di sistema dinamico a tempi discreti (Mappa): | ||||
[math]X_{n + 1} = X_n \cdot (1 - X_n) \cdot (C_1 - Y_n)[/math] | [math]K_1 = C_1 - Y_n[/math] | |||
[math]Y_{n + 1} = Y_n \cdot (1 - Y_n) \cdot (C_2 - X_n)[/math] | [math]K_2 = C_2 - X_n[/math] |
Si può osservare che anche in questo caso le due specie, come nel caso di competizione per il cibo, sono in posizione simmetrica. Inoltre, rispetto alla mappa di May, dove K è una costante, qui si hanno due coefficienti
Anche in questo caso si hanno dei punti fissi significativi (a parte quello banale
1° Simulazione:
Si vuole mostrare come in questa situazione, diversa dalla precedente (competizione per il cibo), anche se le due popolazioni partono da condizioni iniziali molto diverse non vi è alcuna estinzione, al contrario, sempre che abbiano
Valore numerico delle prime 10 Iterazioni:
Iteraz. n | [math]X_n[/math] | [math]Y_n[/math] |
0 | 0.98 | 0.01 |
1 | 0.072324 | 0.026928 |
2 | 0.246438 | 0.095056 |
3 | 0.669461 | 0.297075 |
4 | 0.753009 | 0.632842 |
5 | 0.57045 | 0.684742 |
6 | 0.738849 | 0.675577 |
7 | 0.583566 | 0.649004 |
8 | 0.741443 | 0.709917 |
9 | 0.573215 | 0.60927 |
10 | 0.756115 | 0.744363 |
Già alla decima iterazione la numerosità delle due popolazioni è divenuta molto simile (0.75 contro 0.74). Il grafico sottostante mostra inoltre che dopo la ventesima iterazione l'andamento
Grafico delle prime 100 iterazioni:
Ritaratto di fase delle prime 100 iterazioni:
Si vede quindi che dopo qualche decina di iterazioni i valori di
I ritratti di fase inducono spesso a suggestioni visive. In questo caso non si può non pensare ad un aereo che dopo il decollo fa una stretta virata a destra e poi un ampia virata a sinistra.
2° Simulazione:
In questa seconda simulazione si mostra che pur essendo la specie X in vantaggio iniziale (
Valore numerico delle prime 10 Iterazioni:
Iteraz. n | [math]X_n[/math] | [math]Y_n[/math] |
0 | 0.6 | 0.4 |
1 | 0.624 | 0.336 |
2 | 0.625038 | 0.306991 |
3 | 0.631148 | 0.29252 |
4 | 0.630302 | 0.283287 |
5 | 0.633052 | 0.278097 |
6 | 0.63229 | 0.274427 |
7 | 0.633694 | 0.272334 |
8 | 0.633162 | 0.270758 |
9 | 0.633915 | 0.26988 |
10 | 0.63357 | 0.26918 |
Grafico delle prime 100 iterazioni:
Ritratto di fase delle prime 100 iterazioni:
3° Simulazione:
Rispetto alla seconda simulazione abbiamo lasciato invariate le condizioni iniziali (
Valore numerico delle prime 10 Iterazioni:
Iteraz. n | [math]X_n[/math] | [math]Y_n[/math] |
0 | 0.6 | 0.4 |
1 | 0.72 | 0.336 |
2 | 0.617702 | 0.285573 |
3 | 0.73546 | 0.282018 |
4 | 0.60663 | 0.256049 |
5 | 0.750241 | 0.26542 |
6 | 0.587356 | 0.243668 |
7 | 0.764997 | 0.260342 |
8 | 0.564437 | 0.237817 |
9 | 0.777416 | 0.26021 |
10 | 0.543311 | 0.235349 |
Grafico delle prime 100 iterazioni:
L'aumento del parametro
Ritratto di fase delle prime 100 iterazioni:
4° Simulazione:
In questa simulazione più che confrontare l'evoluzione di due specie vogliamo toccare con mano quanto intuito da Poincaré: "…può accadere che piccole differenze nelle condizioni iniziali ne producano di grandissime nei fenomeni finali…" ed osservato da Lorenz, sul suo primitivo computer, che lo ha portato a titolare la sua conferenza: "Può, il batter d'ali di una farfalla in Brasile, provocare un tornado in Texas?".
Abbiamo visto che normalmente, nel modello riportato sopra (1° Simulazione), gli andamenti a regime, a parte un breve transitorio iniziale, sono indipendenti dalle condizioni iniziali.
Assumiamo eguali i parametri delle equazioni che descrivono l'andamento di
Valore numerico delle prime e ultime 10 Iterazioni:
Iteraz. N | [math]X_n[/math] | [math]Y_n[/math] |
0 | 0.6 | 0.6 |
1 | 0.816 | 0.816 |
2 | 0.478058 | 0.478058 |
3 | 0.87879 | 0.87879 |
4 | 0.332466 | 0.332466 |
5 | 0.813944 | 0.813944 |
6 | 0.482493 | 0.482493 |
7 | 0.878299 | 0.878299 |
8 | 0.333679 | 0.333679 |
9 | 0.81516 | 0.81516 |
10 | 0.479873 | 0.479873 |
… | … | … |
90 | 0.522222 | 0.426411 |
91 | 0.891633 | 0.850611 |
92 | 0.304306 | 0.394986 |
93 | 0.763196 | 0.883167 |
94 | 0.563299 | 0.333983 |
95 | 0.901816 | 0.764454 |
96 | 0.286489 | 0.557872 |
97 | 0.703615 | 0.915941 |
98 | 0.643152 | 0.2538 |
99 | 0.859781 | 0.635738 |
100 | 0.405587 | 0.727197 |
Grafico delle prime 100 iterazioni
I valori numerici ed il grafico delle prime 100 iterazioni ci mostrano che all'inizio gli andamenti di
Da un punto di vista dell'immagine, il ritratto di fase riportato sotto fa pensare ad una libellula. Il corpo dell'insetto corrisponde alle prime iterazioni periodiche, dove X e Y si sovrappongono, e le ali alle ultime, caotiche, dove X e Y si differenziano (nel grafico si può individuare il 100° punto X=0.40; Y=0.72), ma questa suggestione poco ha a che vedere con l'attrattore di Lorenz che assomiglia ad una farfalla.
Ritratto di fase delle prime 100 iterazioni
Conclusioni
Tutti avranno osservato le fotografie di uccelli, neanche troppo piccoli, tranquillamente posati a becchettare sulla schiena di un ippopotamo o di un rinoceronte, oppure quelle, ancor più stupefacenti, di uccelli posati nella bocca aperta di un coccodrillo, che si guarda bene dal divorare l'uccello come facilmente potrebbe fare. Si tratta di esempi di cooperazione tra specie. Nel primo caso il volatile si nutre dei parassiti presenti sulla schiena dei pachidermi. La cooperazione consiste nel fatto che l'uccello si nutre ed il pachiderma si libera dei parassiti. Nel caso del coccodrillo il volatile, nutrendosi, svolge il ruolo benefico di igienista dentale per l'alligatore. Un altro esempio di cooperazione tra specie è quello tra gli umani e i cani o i gatti. Gli animali ricevono cibo, cure e un ricovero sicuro; gli umani compagnia, affetto e fedeltà; per non parlare della pet-therapy , oggi assai diffusa, in alcune cure psicologiche. Un altro esempio clamoroso di cooperazione tra specie molto lontane è quello tra gli umani e la propria flora batterica intestinale senza la quale il nostro metabolismo non potrebbe funzionare. Pare che circa 2 Kg del nostro peso corporeo sia dovuto ai batteri, indispensabili e residenti del nostro intestino. Dunque tra specie diverse, oltre ad avere diversi livelli di competizione, come visto nei paragrafi precedenti, possiamo avere anche diversi livelli di cooperazione. Non possiamo qui entrare nei dettagli di quello che accade invece all'interno della stessa specie, salvo effettuare la generica osservazione che molto spesso, negli animali le competizioni per il cibo, gli accoppiamenti, il territorio si risolvono in combattimenti rituali in cui il perdente riconosce la superiorità del vincente e si allontana dal territorio o dal branco.
Infine, per concludere, vogliamo fare cenno a come si è tentato di modellare l'alternativa cooperazione/competizione all'interno delle organizzazioni umane.
Il Dilemma del Prigioniero
Questo celebre gioco a due persone e a somma non nulla, è stato proposto per la prima volta da Merrill Flood e Melvin Dresher della RAND Corporation nel 1950. Successivamente è stato formalizzato dal matematico Albert W. Tucker, a cui dobbiamo anche il nome del dilemma. Il gioco suppone che due presunti ladri siano stati catturati e messi in carcerazione preventiva. Se entrambi coprono il compagno, negando il fatto, avranno uno sconto di pena di tre anni. Se entrambi accusano il compagno avranno entrambi uno sconto di pena di un anno.
Il gioco può essere rappresentato con la tabella riportata sotto. Entrambi i giocatori possono scegliere tra cooperazione con il compagno o defezione. Nelle celle della tabella il primo numero rappresenta il risultato del giocatore di Riga ed il secondo numero (in Corsivo) rappresenta il risultato del giocatore di Colonna. I valori numerici indicano gli sconti di pena che avranno i due giocatori in ognuna delle 4 situazioni possibili (ad esempio, se il giocatore di Riga sceglie Cooperazione ed il giocatore di colonna sceglie Defezione, Il giocatore di Riga non avrà alcuno sconto di pena (0), mentre l'altro, che ha tradito il compagno, avrà 5 anni di sconto.
Questo gioco ha un punto di equilibrio stabile nella defezione di entrambi i giocatori, se infatti uno solo di essi proverà a scostarsi dal punto di equilibrio, cooperando, cadrà nella situazione peggiore in cui non si ha nessuno sconto di pena. Nel 1950 Nash, dottorando a Princeton in un breve articolo, aveva dimostrato l'esistenza di punti di equilibrio nei giochi non cooperativi ricorrendo ai risultati di Kakutani, che sono una generalizzazione del metodo di Browuer, per la ricerca del punto fisso alle funzioni con più valori. L'aspetto inquietante del dilemma del prigioniero è dato dal fatto che proprio il punto di equilibrio è l'unico del gioco a non essere Pareto - ottimale cioè è l'unico ad essere dominato (infatti il risultato 3,3, cooperazione, che non è un punto di equilibrio, è migliore per entrambi i giocatori del punto di equilibrio di Nash 1,1 defezione).
Il Gioco iterato è stato simulato al computer da Axelrod nel 1984. Egli ha mostrato che la strategia migliore, che tende a pareggiare con la migliore fra tutte le altre, non è ne quella di Defezione ad oltranza (punteggio1,1) ne quella di Cooperazione ad oltranza (punteggio 3,3) ma è quella denominata "Tit for Tat" ovvero "Occhio per occhio, dente per dente": alla prima mossa collabora alle successive copia la precedente del tuo avversario. Il dilemma del prigioniero fa riflettere profondamente sulle molte situazioni in cui le alternative tra cooperazione e competizione/defezione si presentano in ogni organizzazione.
Vincete più che potete
Questo gioco, in uso in diverse business school, mette insieme la morra cinese, con il dilemma del prigioniero. L'aula viene divisa in tavoli di 4 giocatori ed ogni tavolo gioca 10 partite con le seguenti regole.
- Ognuno dei 4 giocatori può scegliere se giocare cooperazione (mano tesa) o defezione (indice puntato). I punti di ogni giocatore sono cosi computati:
- Tutti hanno giocato indice puntato, 6 punti ciascuno.
- Tutti hanno giocato mano tesa, 9 punti ciascuno.
- Giocata mista: 10 punti agli indici puntati e 0 punti alle mani tese.
Le regole del gioco, i punteggi previsti, la suddivisione dei giocatori in tavoli di 4 persone vengono distribuite ai partecipanti su un foglio di carta titolato: "Vincete più che potete". Durante le prime 4 partite i giocatori non possono discutere tra loro, nelle successive 6 giocate possono farlo.
Alla fine del gioco i risultati di ciascuna persona e di ciascun tavolo vengono sommati per le 10 partite e commentati in aula. Solitamente i risultati oscillano tra due situazioni estreme: i tavoli dove uno o più giocatori conoscono il dilemma del prigioniero e sanno che, il comportamento razionale per massimizzare il proprio punteggio individuale, è quello di giocare principalmente defezione. All'altro estremo vi sono i tavoli dove l'esortazione "Vincete più che potete" viene interpretata come rivolta non al singolo giocatore, ma al tavolo intero pensato come squadra. In questo tipo di tavolo, dopo le prime giocate di assestamento, tutti giocano mano tesa (Si parla di emergere della cooperazione all'interno della squadra). Se per le 10 partite, in un tavolo, tutti giocassero sempre mano tesa si avrebbe il punteggio massimo possibile della squadra pari a: (9*4)*10 = 360). Il gioco vuole focalizzare l'attenzione sulle realtà molteplici e sul grado in cui ciascun individuo si sente, o propende a sentirsi, partecipe di un gruppo più o meno esteso (la squadra, il gruppo di progetto, gli amici del caffè, l'ufficio di appartenenza, l'area di business, l'azienda, la nazionalità, ecc.).
Da un punto di vista macroeconomico alcuni (vedi ad esempio Wikipedia "Equilibrio di Nash") hanno interpretato, la superiorità sociale indiscutibile dell'ottimo paretiano rispetto all'equilibrio di Nash, come una falsificazione della liberale "Mano invisibile" (sia essa provvidenza, o compensazione automatica dei mercati) di Adam Smith. Forse hanno supposto che le "Mani visibili" e gli "Aiuti di stato" delle pubbliche amministrazioni, spesso inefficienti e talora corrotte, siano sempre migliori della libera competizione dei mercati, che invece porta sovente, anche se non sempre, a premiare i più meritevoli (o adatti/efficienti).
Riferimenti
- A. Vulpio, "Determinismo e Caos", Carocci Roma 1999;
- Bertuglia, Vaio, "Non linearità, Caos, Complessità", Bollati Boringheri Torino 2003;
- Bischi, Carini,… "Sulle Orme del Caos", Bruno Mondadori Milano 2004;
- R.Chiappi, "Il foglio elettronico come strumento per il Problem Solving", F.Angeli Milano 2008;
- R.Chiappi, "P. Management, P. Solving, D. Making"
- Hume, "Il modello preda-predatore di Volterra"
- V. Franceschini, "Sistemi Dinamici e Caos", Università di Modena 2006
- E. De Sanctis: Come nasce il Caos
- M. Impedovo: Sistemi dinamici Discreti
- F. Ruini: Appunto sulla mappa logistica
- Wikipedia, Equilibrio di Nash
Iteraz n Xn Yn
0 0 0
1 1 0
2 -0,4 0,3
3 1,076 -0,12 Modello di sistema dinamico a tempi discreti:
-0,7408864 0,3228
4
5 0,5543222792
-0,22226592 Xn + 1 = Yn + 1 - a*Xn^2 a= 1,4
6 0,3475516151
0,1662966838 Yn + 1 = b*Xn b= 0,3
7 0,9971877086
0,1042654845
8 -0,287871172
0,2991563126 Condizioni iniziali: Xo= 0
9 1,183138576
-0,08636135161 Yo= 0
10 -1,046104998
0,3549415729
11 -0,1771283616
-0,3138314995
12 0,6422442614
-0,05313850849
13 0,3693927237
0,1926732784
14 1,0016419 0,1108178171
15 -0,2937832782
0,3004925701
16 1,17966051-0,08813498347
17 -1,036373469
0,3538981529
18 -0,1497998011
-0,3109120407
19 0,6576719868
-0,04493994032
20 0,3495146406
0,197301596
21 1,026276918
0,1048543922
22 -0,3696876463
0,3078830755
23 1,116546537
-0,1109062939
24 -0,8562529319
0,3349639612
25 0,3085272444
-0,2568758796
26 0,6098594357
0,09255817332
27 0,5718582296
0,1829578307
28 0,7251272621
0,1715574689
29 0,4354241041
0,2175381786
30 0,952106368
0,1306272312
31 -0,1384819192
0,2856319104
32 1,258783772
-0,04154457575
33 -1,259895793
0,3776351315
34 -0,844637242
-0,377968738
35 -0,3767456368
-0,2533911726
36 0,5478966427
-0,113023691
37 0,4667092855
0,1643689928
38 0,8594244127
0,1400127857
39 0,105958336
0,2578273238
40 1,242109287
0,03178750079
41 -1,128182173
0,3726327862
42 -0,4092802366
-0,338454652
43 0,4270309111
-0,122784071
44 0,6219183704
0,1281092733
45 0,5866138301
0,1865755111
46 0,7048134112
0,175984149
47 0,4805174266
0,2114440234
48 0,8881882271
0,144155228
49 0,03972557048
0,2664564681
50 1,264247099
0,01191767115
51 -1,225731346
0,3792741296
52 -0,7241101374
-0,3677194039
53 -0,1017890915
-0,2172330412
54 0,768261532
-0,03053672744
55 0,1431471784
0,2304784596
1,201790899
0,04294415353
56
57 -0,9790777574
0,3605372697
58 0,01850671262
-0,2937233272
59 0,705797175
0,005552013787
60 0,3081425007
0,2117391525
61 1,078806632
0,0924427502
62 -0,5369104973
0,3236419895
63 0,9200599546
-0,1610731492
64 -0,3461875972
0,2760179864
65 1,108233793
-0,1038562791
66 -0,823311275
0,3324701379
67 0,3834921001
-0,2469933825
68 0,5471139503
0,11504763
69 0,6959804856
0,1641341851
70 0,4859898142
0,2087941457
71 0,8781336064
0,1457969442
72 0,06623086123
0,2634400819
73 1,257298944
0,01986925837
74 -1,193251631
0,3771896832
75 -0,6161995523
-0,3579754892
76 0,1104418673
-0,1848598657
77 0,7980637658
0,0331325602
78 0,1414644761
0,2394191298
79 1,211402053
0,04243934284
80 -1,012053563
0,3634206158
81 -0,07053276506
-0,303616069
82 0,6894191117
-0,02115982952
83 0,3134219743
0,2068257335
84 1,069299066
0,09402659228
85 -0,5067340972
0,3207897198
86 0,9612984964
-0,1520202292
87 -0,445752948
0,2883895489
88 1,010215582
-0,1337258844
89 -0,5624756152
0,3030646746
90 0,8601343298
-0,1687426846
91 -0,2045061759
0,2580402989
92 1,199488413
-0,06135185276
93 -1,075633285
0,3598465238
94 -0,2599352267
-0,3226899856
95 0,5827171634
-0,07798056802
96 0,4466364224
0,174815149
97 0,8955374177
0,1339909267
98 0,01120875359
0,2686612253
99 1,268485335
0,003362626077
100 -1,249314436
0,3805456004
Iteraz. n Xn Yn
0 1 0,5 X Densita Prede
1 0,79 0,2 Y Densità Predatori
2 0,895939 0,038
3 1,141294413
0,011245682 Modello di sistema dinamico a tempi discreti (Mappa):
4 1,425570868
0,006087224834
5 1,702905549
0,005025435492 Xn + 1 = Xn*(1 + r) - s*Xn^2 - b*Xn*Yn r = 0,5
6 1,936824147
0,005542580691 Yn + 1 = Yn*(-e + c*Xn) s = 0,21
7 2,106730783
0,007409455702 b = 1
8 2,212440382
0,01116405499 e = 0,6
9 2,266033354
0,0180013731 c = 1
10 2,279927815
0,02999088799
11 2,259919786
0,05038252693
12 2,203499347
0,08363095332
13 2,101332301
0,1341021791
14 1,942929749
0,2013319331
15 1,730475859
0,2703746424
16 1,498982190,3056520062
17 1,318447374
0,27477571
18 1,250350018
0,1974118874
19 1,300382285
0,1283868244
20 1,428512717
0,08991985739
21 1,585781213
0,07449974533
22 1,732444091
0,07344044933
23 1,841148533
0,08316720292
24 1,896735763
0,1032228519
25 1,893819793
0,1338527636
26 1,834060461
0,1731813549
27 1,727072283
0,2137162627
28 1,595121470,2408736761
29 1,474132807
0,2396985666
30 1,401507508
0,2095283808
31 1,396118771
0,1679385703
32 1,450394965
0,1336990482
33 1,539910455
0,1136969975
34 1,636804403
0,1068649966
35 1,717672491
0,1107980991
36 1,766610144
0,1238359873
37 1,775753911
0,144468319
38 1,744897274
0,169859191
39 1,681579107
0,1944713247
40 1,601531002
0,2103361218
41 1,526807358
0,2106581469
42 1,479037079
0,1952395205
43 1,470403486
0,1716227779
44 1,499212351
0,1493810641
45 1,552860679
0,1343252979
46 1,614313525
0,1279932946
47 1,667587268
0,1298253298
48 1,700907903
0,1385998691
49 1,708067826
0,1525856912
50 1,688800932
0,1690752951
51 1,648736679
0,1840893389
52 1,598740319
0,1930612419
53 1,552701860,1928180464
54 1,523378407
0,1836981114
55 1,517882702
0,1696228694
56 1,535523175
0,1556938977
57 1,569068576
0,1456552496
58 1,608044788
0,1411499253
59 1,642072092
0,1422854465
60 1,663221018
0,1482716929
61 1,667299059
0,1576455803
62 1,654330169
0,1682549795
63 1,628416220,1773963009
64 1,596884045
0,1824372332
65 1,568486844
0,1818687671
66 1,550839791
0,1761375082
67 1,548026778
0,1674785515
68 1,559537635
0,1587741517
69 1,580939084
0,1523497739
70 1,605685553
0,1494458477
71 1,627137811
0,1502955299
72 1,640163911
0,1543742215
73 1,642117932
0,160574494
74 1,633218868
0,1673375597
75 1,616374630,172896324
76 1,596436655
0,1757274373
77 1,578909161
0,1751012597
78 1,568374390,1714082273
79 1,567171683
0,1659873375
80 1,574861182
0,1605382526
81 1,588626885
0,1565025106
82 1,604331802
0,1547225895
83 1,617756420,1553928171
84 1,625648378
0,1581520373
85 1,626399108
0,1622083804
86 1,620296544
0,1664905369
87 1,609354988
0,1698697194
88 1,596746871
0,1714588486
89 1,585927807
0,1709010708
90 1,579669878
0,168496118
91 1,579311621
0,1650705714
92 1,584482269
0,1616555288
93 1,593360431
0,1591470017
94 1,603314644
0,1580903343
95 1,611673670,1586143475
96 1,616402614
0,1604659591
97 1,616547269
0,1630980202
98 1,612387979
0,165796847
99 1,605296176
0,1678507348
100 1,597329201
0,1687397019
Iteraz. n Xn Yn
0 0,4 0,2 X Densita Popolazione 1
1 0,12 0,08 Y Densità Popolazione 2
2 0,168 0,1184
0,1900416 0,14908928 Modello di sistema dinamico a tempi discreti (Mappa):
3
4 0,1803523366
0,1687238372 a = 2
5 0,1587169203
0,1892229931 Xn + 1 = Xn*(a - s*Xn - b*Yn) s = 2
6 0,1319037108
0,2167366318 Yn + 1 = Yn*(e - d*Yn - c*Xn) b = 4,5
7 0,1003625967
0,2537586305 e = 2
8 0,06597445388
0,3023267506 d = 2
9 0,03348736045
0,3620130461 c = 3
10 0,01017903814
0,425550617
11 0,0006582188191
0,4759194909
12 -0,00009409510952
0,4979004807
13 0,00002261707434
0,500131734
14 -0,000005668699123
0,4999660307
15 0,000001416243986
0,5000085002
16 -0,0000003541191803
0,4999978755
17 0,00000008852615873
0,5000005312
18 -0,00000002213176696
0,4999998672
19 0,000000005532927535
0,5000000332
20 -0,000000001383232771
0,4999999917
21 0,0000000003458081374
0,5000000021
22 0 0,4999999995
23 0 0,5000000001
24 0 0,5
25 0 0,5
26 0 0,5
27 0 0,5
28 0 0,5
29 0 0,5
30 0 0,5
31 0 0,5
32 0 0,5
33 0 0,5
34 0 0,5
35 0 0,5
36 0 0,5
37 0 0,5
38 0 0,5
39 0 0,5
40 0 0,5
41 0 0,5
42 0 0,5
43 0 0,5
44 0 0,5
45 0 0,5
46 0 0,5
47 0 0,5
48 0 0,5
49 0 0,5
50 0 0,5
51 0 0,5
52 0 0,5
53 0 0,5
54 0 0,5
55 0 0,5
56 0 0,5
57 0 0,5
58 0 0,5
59 0 0,5
60 0 0,5
61 0 0,5
62 0 0,5
63 0 0,5
64 0 0,5
65 0 0,5
66 0 0,5
67 0 0,5
68 0 0,5
69 0 0,5
70 0 0,5
71 0 0,5
72 0 0,5
73 0 0,5
74 0 0,5
75 0 0,5
76 0 0,5
77 0 0,5
78 0 0,5
79 0 0,5
80 0 0,5
81 0 0,5
82 0 0,5
83 0 0,5
84 0 0,5
85 0 0,5
86 0 0,5
87 0 0,5
88 0 0,5
89 0 0,5
90 0 0,5
91 0 0,5
92 0 0,5
93 0 0,5
94 0 0,5
95 0 0,5
96 0 0,5
97 0 0,5
98 0 0,5
99 0 0,5
100 0 0,5