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Sintesi
In questo articolo si toccano in maniera semplice e non specialistica diversi temi di matematica applicata che includono: mappe ed equazioni differenziali, biologia matematica, sistemi dinamici, management e lavoro di squadra. Gli argomenti presentati sono:

  • il modello di Lorenz per le previsioni meteorologiche;

  • il modello Preda - Predatore di Volterra;

  • il modello di competizione per il cibo di Volterra;

  • il modello di May e una sua estensione bi-dimensionale;

  • il dilemma del prigioniero e l'equilibrio di Nash;

  • l'alternativa cooperazione/competizione nelle organizzazioni.


E' disponibile il foglio Excel che permette al lettore di effettuare simulazioni con i propri parametri e le proprie condizioni iniziali.


Abstract


Discrete Dynamic Systems (DDS) : Recurrence Maps

(Roberto Chiappi)

This article, written in plain style and addressed to non specialist readers, has broadly educational purposes. The issues which are brought up belong to the field of applied mathematics and include:

  • mathematic biology;

  • dynamic systems;

  • management and team work.


The subjects discussed include:

  • the Lorenz weather forecast model;

  • the Volterra predator / prey model;

  • the Volterra competition for food model;

  • the May Logistic model and two-dimensional extension;

  • the Prisoner's Dilemma and Nash equilibrium;

  • the cooperation vs competition alternative in organizations.




Introduzione: Mappe ed Equazioni differenziali


Una mappa di ricorrenza è sostanzialmente una regola che determina lo stato del sistema al tempo
[math]n+1[/math]
a partire dallo stato del sistema al tempo
[math]n[/math]
(con
[math]n = 0,1,2,…,n[/math]
):



[math] X_{n+1} = g(X_n) [/math]




La discretizzazione non è affatto innaturale, si pensi ad esempio al computo degli interessi finanziari, e alle relative capitalizzazioni, che possono essere annue, semestrali, mensili ecc. Anche se concettualmente nulla lo impedisce, esistono anche tavole per il calcolo continuo degli interessi, nessuno penserebbe però nella realtà odierna ad un tale computo.

I sistemi dinamici continui sono invece retti da equazioni differenziali del tipo:



[math] \displaystyle \frac{dX}{dt} = f(X) [/math]




Le equazioni differenziali, più complesse da trattare delle mappe, nascono ai tempi di Leibnitz e Newton mentre le mappe, più semplici, nascono negli anni 60-70 dello scorso secolo, soprattutto grazie alla diffusione dei computer digitali (i computer analogici, che trattavano variabili continue, sono presto andati in pensione in quanto i loro risultati potevano essere simulati meglio/più efficientemente sui calcolatori digitali).

I due tipi di sistemi dinamici, discreti e continui, non sono completamente slegati come potrebbe sembrare a prima vista. Si può sovente mostrare che le differenze tra i due è più apparente che sostanziale in quanto le caratteristiche essenziali di una equazione differenziale possono essere sovente tradotti in termini di una mappa ricorrente. L'idea di ridurre le equazioni differenziali ad una mappa, per studiarne gli aspetti qualitativi salienti (punti fissi, attrattori periodici o caotici) è dovuta a Poincaré anche se in precedenza Eulero aveva mostrato come approssimare una equazione differenziale mediante equazioni alle differenze finite, che sono del tutto simili alle mappe ricorsive.

Aprossimazione di Eulero


[math] \displaystyle \frac{dX}{dt} = f(X) [/math]



[math] \displaystyle \Delta X = f(X) \cdot \Delta t [/math]



[math] \displaystyle X_{n+1} = X_n + f(X) \cdot \Delta t [/math]




essendo
[math] \Delta t [/math]
il passo d'integrazione (numero piccolo,
[math] \displaystyle 0 \lt \Delta t \ll 1 [/math]
).

Modello di Lorenz

Negli anni 50-60 dello scorso secolo un metereologo matematico, Edward Lorenz, studiando l'evoluzione delle condizioni meteo, giunse a formulare il seguente sistema di equazioni differenziali per le previsioni meteorologiche:


[math] \displaystyle \frac{dx}{dt} = s\cdot(y - x) [/math]



[math] \displaystyle \frac{dy}{dt} = r\cdot x - y - x\cdot z [/math]



[math] \displaystyle \frac{dz}{dt} = x\cdot y - b\cdot z [/math]




Si racconta che un giorno Lorenz, volendo riprendere e prolungare una simulazione effettuata nei giorni precedenti, avesse reinserito nel suo computer i valori numerici ottenuti a metà simulazione (all'epoca i computer stampavano/calcolavano al massimo tre/sei cifre decimali). Con grande stupore Lorenz osservò che la nuova simulazione non ripercorreva i valori numerici della precedente, ma al contrario ben presto divergeva inspiegabilmente da essi. All'inizio pensò ad un errore, ma così non era. C'era qualcosa insito nel sistema dinamico in studio (Il meteo). In successive conferenze Lorenz parlò di dipendenza forte dalle condizioni iniziali e dell'effetto farfalla forse ispirato dal diagramma generato dall'attrattore (caotico) di Lorenz, che somiglia proprio a tale insetto. "Può, il batter d'ali di una farfalla in Brasile, provocare un tornado in Texas?", fu il titolo di una conferenza da lui tenuta nel 1972.

Già nel secolo precedente H.Poincaré aveva scritto:

"Una causa piccolissima che sfugga alla nostra attenzione determina un effetto considerevole che non possiamo mancar di vedere… può accadere che piccole differenze nelle condizioni iniziali ne producano di grandissime nei fenomeni finali. Un piccolo errore nelle prime produce un errore enorme nei secondi. La previsione diviene impossibile e si ha un fenomeno fortuito".

Le intuizioni ed i lavori di Poincaré furono riscoperti negli anni 50 - 70 dello scorso secolo. Essi, grazie anche ai miglioramenti continui della capacità di memoria e dei tempi di calcolo dei computer digitali, portarono alla nascita di un nuovo paradigma scientifico: "il Caos deterministico". Sino a quel momento si pensava che determinismo (in antitesi ai modelli probabilistici) e predicibilità dei fenomeni, fossero la stessa cosa. Laplace aveva affermato, pensando alle equazioni differenziali, che una mente superiore, in grado di conoscere in un certo istante posizione e velocità di tutte le particelle dell'universo, avrebbe potuto prevederne ogni sviluppo futuro. Così non è; infatti come aveva ben intuito Poincaré, un piccolo errore nella valutazione delle condizioni iniziali può comportare una evoluzione del sistema del tutto imprevedibile (benché esso sia completamente deterministico).

Toccheremo con mano questo fenomeno scrivendo, nel seguito, della mappa logistica del biologo evoluzionista Robert May e di una sua possibile generalizzazione bi-dimensionale.


La mappa di Henon


Si tratta di una mappa bidimensionale, proposta nel 1976 dall'\astronomo Henon, con lo scopo di fornire un modello, il più semplice possibile, capace di mostrare le proprietà essenziali dell'attrattore strano presente nel modello di Lorenz. In particolare, la mappa giocò un ruolo fondamentale per capire la struttura geometrica del modello di Lorenz.

Henon Assistendo ad una conferenza di Lorenz sugli "attrattori strani", pensò che queste nuove teorie matematiche, potessero spiegare i risultati da lui ottenuti nel 1962 osservando il movimento delle stelle all'interno di una galassia. Studiando il ritratto di fase della sua mappa (ottenuta con 10.000 iterazioni; noi ci fermeremo a 100, ma chi lo desidera può estenderle utilizzando lo stesso foglio Excel) Henon osservò che essa presentava caratteristiche di auto somiglianza (il dettaglio riproduce l'intero insieme) e che pertanto aveva una tipica struttura frattale. Tale figura era un attrattore caotico che venne chiamato "attrattore strano di Henon".

Mappa di Henon


[math] \displaystyle x_{n+1} = Y_{n + 1} - a \cdot X_n^2 [/math]



[math] \displaystyle Y_{n+1} = b \cdot X_n [/math]




La mappa, con
[math]a = 1.4[/math]
e
[math]b = 0.3[/math]
(e condizioni iniziali
[math]0,0[/math]
), genera i seguenti risultati:

Valore numerico delle prime 10 Iterazioni





























































Iteraz
[math]n[/math]
[math]X_n[/math]
[math]Y_n[/math]
0 0 0
1 1 0
2 -0.4 0.3
3 1.076 -0.12
4 -0.74089 0.3228
5 0.554322 -0.22227
6 0.347552 0.166297
7 0.997188 0.104265
8 -0.28787 0.299156
9 1.183139 -0.08636
10 -1.0461 0.354942


Grafico delle prime 100 iterazioni:

Crafico prime 100 iterazioni

Ritratto di fase delle prime 100 iterazioni:

Ritratto fase prime 100 iterazioni

Il Modello Preda-Predatore


La nascita della ecologia matematica si fa usualmente coincidere con gli anni 30 dello scorso secolo quando il biologo Umberto D'Ancona, coinvolse il suocero e matematico Vito Volterra, nello studio di alcune fluttuazioni osservate nella popolazione dei pesci in Adriatico. I biologi del tempo cercavano di mettere in relazione tali fluttuazioni con i vari fattori esogeni come il clima, la pesca o la quantità di nutrienti presenti in mare. L'approccio di Volterra fu completamente diverso. Ipotizzò infatti un sistema di prede e predatori viventi nella stessa nicchia ecologica. L'approccio dunque da esogeno divenne endogeno (interno al sistema), ma il successo fu decretato, oltre che dalla semplicità, dalla capacità del modello matematico di descrivere molto bene le fluttuazioni periodiche delle popolazioni di prede e predatori. Il modello ha avuto poi numerose conferme sia in laboratorio (culture batteriche), sia in natura nel rapporto tra Erbivori e Carnivori che condividevano lo stesso territorio. In particolare esso è stato applicato con successo alla analisi dell'andamento delle popolazioni di Lepri e Linci in alcune regioni del Canada.

Volterra (e Lotka che era poco prima arrivato alle sue stesse conclusioni) descrisse il modello in termini di equazioni differenziali. La trattazione originale è ben riassunta nell'articolo di Hume, pubblicato su www.skuola.net di cui si riferisce in bibliografia. Nel seguito invece il modello di Volterra è rappresentato in termini discreti (ore, giorni, settimane, mesi, anni…) mediante mappe.

Modello di Volterra







[math]X_{n + 1} = X_n\cdot (1 + r) - s\cdot X_n^2 - b\cdot X_n \cdot Y_n[/math]
[math]Y_{n + 1} = Y_n\cdot (-e + c \cdot X_n)[/math]


Siano
[math]X_n[/math]
e
[math]Y_n[/math]
le rispettive densità di prede e predatori, vale a dire il numero di prede e predatori per unità di superficie dell'ecosistema nel quale vivono.

La densità (
[math]X_{n+1}[/math]
) delle prede nel periodo successivo dipende da tre fattori: 1) la numerosità della popolazione nel periodo precedente
[math]X_n[/math]
moltiplicata per il tasso nascite-morti
[math](1+r)[/math]
. Se ci si fermasse a questo punto avremo la crescita geometrica di una popolazione ipotizzata da Malthus. L'ipotesi di crescita esponenziale non è realistica in quanto la densità degli individui- prede è comunque limitata sia dagli spazi fisici sia dalla disponibilità di cibo. 2) Volterra ha introdotto un termine quadratico negativo
[math]-s\cdot X_n^2[/math]
per rappresentare questa limitatezza. 3) Inoltre Volterra ha introdotto il termine (negativo sempre per le prede)
[math]-b\cdot X_n\cdot Y_n[/math]
per rappresentare i contatti preda/predatore che riducono, attraverso appunto la predazione, la densità delle prede poiché esse vengono divorate.

La densità
[math](Y_{n +1})[/math]
dei predatori è più semplice da spiegare in considerazione del fatto che, 1) in assenza di prede
[math](-e\cdot Y_n )[/math]
, essi sono destinati ad estinguersi infatti il modello assume che le prede siano le uniche fonti di cibo dei predatori, 2)
[math]+c\cdot X_n[/math]
. All'aumentare delle prede aumenta il cibo e dunque la possibilità di sopravvivenza, riproduzione e densità dei predatori.

Il Punto Fisso

Il concetto di "punto fisso" è trasversale nella matematica applicata e tocca discipline diverse come: il calcolo numerico, la teoria dei giochi, l'ottimizzazione, le equazioni differenziali, i sistemi dinamici discreti, ecc. Un punto fisso può essere un attrattore o un repulsore.

Nelle equazioni differenziali un punto fisso coincide con un punto di stazionarietà, dunque,

ad esempio, i punti che soddisfano le condizioni:


[math] \displaystyle \frac{dX}{dt} = 0 [/math]



[math] \displaystyle \frac{dY}{dt} = 0 [/math]




Nelle mappe ricorrenti un punto fisso si ha quando l'iterazione successiva è uguale alla precedente. Vediamone l'applicazione al sistema discreto, tratto dal modello di Volterra, in cui si trovano punti fissi se:








[math]X_{n + 1} = X_n[/math]
[math]Y_{n + 1} = Y_n[/math]


Dunque se:








[math] \displaystyle X_n\cdot (1 + r) - s\cdot X_n^2 - b\cdot X_n\cdot Y_n = X_n [/math]
[math] \displaystyle Y_n\cdot (-e + c\cdot X_n) = Y_n) [/math]


Riscrivendo in forma fattorizzata:








[math] \displaystyle X_n\cdot (r - s\cdot X_n - b\cdot Y_n) = 0 [/math]
[math]\displaystyle Y_n\cdot (-e -1 + c\cdot X_n) = 0 [/math]


Risolvendo si trovano tre Punti Fissi:


[math]F_o = (0; 0)[/math]
. Soluzione banale di non esistenza o di estinzione sia delle prede (
[math]X[/math]
) che dei predatori (
[math]Y[/math]
).


[math]F_1 = (r/s; 0)[/math]
. Rappresenta l'assenza di predatori (
[math]Y[/math]
), dunque le prede (
[math]X[/math]
) si assestano al massimo concesso dal cibo e spazio della propria nicchia ecologica.


[math] \displaystyle F_2 = [(1+e)/c; ((c\cdot r - s\cdot (1+e))/b\cdot c] [/math]
. Rappresenta il punto fisso di coesistenza tra prede e predatori di cui, nella 1° Simulazione, si riporta un esempio numerico.



1° Simulazione:

Assumiamo i seguenti parametri per la simulazione:






















r = 0.5
s = 0.21
b = 1
e = 0.6
c = 1

e condizioni iniziali di bassa densità sia per le prede (
[math]X[/math]
) che per i predatori (
[math]Y[/math]
):
[math](X_o; Y_o) = (1; 0.5)[/math]
. Si può osservare che i punti delle traiettorie convergono, oscillando in modo smorzato, verso il punto fisso
[math]F_2(1.6; 0.16)[/math]
.

Valore numerico delle prime 10 Iterazioni:





























































Iteraz. n
[math]X_n[/math]
[math]Y_n[/math]
0 1 0.5
1 0.79 0.2
2 0.895939 0.038
3 1.141294 0.011246
4 1.425571 0.006087
5 1.702906 0.005025
6 1.936824 0.005543
7 2.106731 0.007409
8 2.21244 0.011164
9 2.266033 0.018001
10 2.279928 0.029991



Grafico delle prime 100 iterazioni:

Modello Volterra: grafico prime 100 iterazioni

All'inizio, si osservi, i predatori (
[math]Y[/math]
) tendono ad estinguersi a causa della scarsità delle prede (unico cibo per loro). Questo consente alle prede di crescere indisturbate. Quando le prede si avvicinano al loro picco massimo, anche i predatori cominciano a crescere grazie alla facile ed abbondante disponibilità di cibo. La crescita dei predatori implica una dr\astica diminuzione delle prede sino a raggiungere il loro minimo. Si osservi che la simulazione mostra, oscillando, un picco dei predatori che anticipa il minimo nel numero delle prede. I valori numerici alla 100° iterazione
[math](X= 1.597;Y= 0.168)[/math]
sono già molto vicini al punto fisso
[math]F_2(1.6; 0.16)[/math]
.

Ritratto di fase delle prime 100 iterazioni:

Modello Volterra: ritratto fase prime 100-iterazioni

Il grafico mostra chiaramente come, partendo dalla condizione iniziale
[math]X_o = 1, Yo = 0.5[/math]
si giunge, attraverso una spirale convergente al punto fisso
[math]F_2 (1.6; 0.16)[/math]
.



2° Simulazione:

Cambiando leggermente il parametro
[math]s[/math]
e riducendolo da 0.21 a 0.18 il comportamento del sistema cambia radicalmente. Le oscillazioni, prima smorzate diventano persistenti, il punto fisso sembra sparire, ed il ritratto di fase presenta una forma circolare: si parla in questo caso di un attrattore periodico.






















r = 0.5
s = 0.18
b = 1
e = 0.6
c = 1


Valore numerico delle prime 10 Iterazioni:





























































Iteraz. n
[math]X_n[/math]
[math]Y_n[/math]
0 1 0.5
1 0.82 0.2
2 0.944968 0.044
3 1.21514 0.015179
4 1.538484 0.009337
5 1.867313 0.008763
6 2.156973 0.011105
7 2.37405 0.01729
8 2.505527 0.030673
9 2.551458 0.058449
10 2.506267 0.114061



Grafico delle prime 100 iterazioni:

Modello Volterra: simulazione 2 - grafico prime 100 iterazioni

Ritratto di fase delle prime 100 iterazioni:

Modello Volterra: simulazione 2 - ritratto fase prime 100 iterazioni

3° Simulazione

Effettuiamo un terza simulazione per comprendere meglio il significato della scomparsa dell'attrattore punto fisso e del nuovo attrattore periodico. I parametri sono ovviamente identici a quelli della seconda simulazione.






















r = 0.5
s = 0.18
b = 1
e = 0.6
c = 1


Con questi valori dei parametri il punto fisso diviene:
[math]F_3 = (1.6; 0.212)[/math]
. Esso però è divenuto instabile. Ce se ne può convincere iniziando la simulazione da un punto vicino ad esso
[math](Xo, Yo) = (1.5; 0.3)[/math]
.

Valore numerico delle prime 10 Iterazioni:



















































Iteraz. n (X_n) (Y_n)
0 1.5 0.3
1 1.395 0.27
2 1.365566 0.21465
3 1.419571 0.164329
4 1.533348 0.134679
5 1.670304 0.125702
6 1.79331 0.13454
7 1.869821 0.160548
8 1.875215 0.203867


Grafico delle prime 100 iterazioni:

Modello Volterra: simulazione 3 - grafico prime 100 iterazioni

Ritratto di fase delle prime 100 iterazioni:

Modello Volterra: simulazione 3 - ritratto fase - prime 100 iterazioni

Le oscillazioni si ampliano progressivamente sino a raggiungere l'ampiezza di quelle della simulazione precedente (la 2°) per poi restare stazionarie. Il ritratto di fase mostra una spirale crescente che dal punto iniziale
[math](1.5; 0.3)[/math]
aumenta sino ad addensarsi attorno all'attrattore periodico.

Anche se partissimo dal punto
[math]F_2 (1.6; 0.21)[/math]
, assai prossimo al punto Fisso
[math] F_2 (1.6;0.212) [/math]
, le oscillazioni (vedi sotto), prima o poi, comincerebbero ad innescarsi.

Modello Volterra: simulazione 3 - ritratto fase prime 100 iterazioni - scillazioni punto F2

Una storiella dello scorso secolo:

Nel 1985 sull'Economist comparve questa breve storia diretta al mondo del business e poi diffusasi anche in Italia all'interno di alcune grandi aziende:

"Ogni mattina, in Africa, si svegliano un leone ed una gazzella. Il leone sa che deve correre più veloce della gazzella, altrimenti morirà di fame. La gazzella sa che deve correre più veloce del leone, altrimenti sarà mangiata. Che tu sia leone o gazzella, impara comunque a correre!".

Il sociologo Domenico De Masi, nel suo libro "Il futuro del lavoro" (Rizzoli, Milano 1999) si divertì, con una provocazione diretta al mondo del business, a rovesciare la storia:

"Appena sorgerà il sole, il leone e la gazzella diventeranno amici e non fu più necessario che, ai primi raggi, l'uno e l'altra comincino a correre. Perché, nella società postindustriale, se la gazzella non correrà più del leone, non verrà sbranata. Né il leone, se non correrà più della gazzella, morirà di fame".

Raccontando al contrario la storiella, che alcuni manager avevano incorniciato dietro la loro scrivania, De Masi criticava taluni eccessi della competizione che trascurano i benefici della cooperazione all'interno delle organizzazioni: "nella società postindustriale noi dobbiamo sostituire la competitività distruttiva che si fa in nome del mercato e della carriera con l'emulazione solidale, che è cosa completamente diversa".


Competizione per il cibo tra due Specie


Nel 1927 Volterra, aveva proposto, sempre usando le equazioni differenziali, un altro fondamentale modello della ecologia matematica, che descrive la dinamica di due popolazioni appartenenti alla stessa nicchia ecologica che competono anche per lo stesso cibo. Per intendersi non esiste, in questo caso, alcun rapporto preda-predatore, semplicemente le due specie si nutrono dello stesso cibo. Possono essere due erbivori, due carnivori, ecc.

L'interazione tra le due popolazioni prevede un termine negativo delle due densità
[math] (X_n\cdot Y_n) [/math]
: infatti la presenza di ciascuna specie provoca una diminuzione del cibo comune e quindi ha un effetto inibitore sulla crescita dell'altra. Ecco il modello, in termini di mappa, che si ottiene (si osservi che esso, diversamente dal precedente, è perfettamente simmetrico rispetto alle due specie):










X Densita Popolazione 1
Y Densità Popolazione 2










[math]X_{n + 1} = X_n \cdot (a - s \cdot X_n - b \cdot Y_n)[/math]

[math]Y_{n + 1} = Y_n \cdot (e - d \cdot Y_n - c \cdot X_n)[/math]



Si vedrà che l'evoluzione dinamica delle due specie porta a confermare l'ipotesi di G.F. Gause, discussa poi da Darwin, secondo il quale due specie non possono convivere a lungo nella stessa nicchia ecologica, se hanno le stesse esigenze di cibo: in questo caso quella minoritaria, come numerosità iniziale, o più debole (nella capacità di riproduzione-mortalità) è destinata a scomparire. Si tratta del famoso principio della sopravvivenza della specie più adatta.

1° Simulazione

Essendo il modello simmetrico per le due specie se i rispettivi parametri sono uguali (2,2,3)


























a = 2
s = 2
b = 3
e = 2
d = 2
c = 3


e se le condizioni iniziali sono le stesse (sotto
[math]X_o = Y_o = 0.2[/math]
) allora le due specie resteranno in equilibrio mantenendo nel tempo la densità iniziale:






























































Iteraz. n (X_n) (Y_n)
0 0.2 0.2
1 0.2 0.2
2 0.2 0.2
3 0.2 0.2
4 0.2 0.2
5 0.2 0.2
6 0.2 0.2
7 0.2 0.2
8 0.2 0.2
9 0.2 0.2
10 0.2 0.2


Questa situazione di equilibrio tra le due specie si ottiene anche per valori iniziali inferiori (Es. 0.1) o superiori (Es. 0.3) a 0.2. Per valori di densità elevati il modello perde di validità mostrando presto valori negativi o infiniti nello sviluppo della densità delle specie. Il lettore interessato può facilmente verificare, con il foglio Excel, quanto scritto.

Possiamo rappresentare la situazione nello spazio X,Y riportato sotto. Finché restiamo sulla bisettrice tracciata in nero (uguali densità iniziali per le due specie) abbiamo una situazione di equilibrio.

Competizione di cibo tra 2 specie: simulazione 1 - grafico

Il grafico vuole però anche indicare che, se ci scostiamo anche di poco dalla situazione di equilibrio, la specie che parte svantaggiata è destinata, più o meno rapidamente, ad estinguersi. Dunque l'equilibrio è da intendersi come instabile e la bisettrice va pensata come uno stretto crinale scostandosi dal quale si finisce nel burrone. Si parla, più propriamente, del luogo dei punti di biforcazione nel comportamento del sistema: da un lato estinzione della specie X, dall'altro estinzione della specie Y.

2° Simulazione

Per mostrare questa tendenza all'estinzione della popolazione minoritaria assumiamo che, a parità di tutti gli altri parametri, sia
[math]X_o = 0.19[/math]
di poco inferiore a
[math]Y_o = 0.2[/math]
.






























































Iteraz. n
[math]X_n[/math]
[math]Y_n[/math]
0 0.19 0.2
1 0.1938 0.206
2 0.192715 0.20736
3 0.191268 0.208839
4 0.189536 0.210618
5 0.187465 0.212757
6 0.18499 0.21533
7 0.182036 0.218424
8 0.178515 0.222147
9 0.174325 0.226626
10 0.169352 0.232013


Si può osservare che già alla decima iterazione vi sia una significativa divergenza tra l'entità delle due popolazioni:
[math] X_{10} = 0.17; Y_{10} = 0.23 [/math]
. Inoltre dal grafico sottostante si vede che alla 30° iterazione la popolazione X è praticamente estinta mentre la specie Y occupa l'intera nicchia attestandosi ad un valore
[math]Y = 0.5[/math]
.

Competizione di cibo tra 2 specie: simulazione 2: grafico

Il ritratto di fase mostra sostanzialmente la stessa cosa: partendo dal punto
[math]X = 0.19[/math]
;

[math]Y = 0.2[/math]
la traiettoria va a sbattere, estinzione della specie X, contro l'asse delle ordinate (
[math]X = 0[/math]
) nel punto
[math]Y = 0.5[/math]
.

Competizione cibo tra 2 specie: simulazione 2 - ritratto fase

3° Simulazione

Vogliamo ora mostrare che, cambiando i valori dei parametri, si possono ottenere situazioni in cui una specie vince la competizione pur partendo da condizioni iniziali svantaggiate (nell'esempio
[math]X_o = 0.4[/math]
;
[math]Y_o = 0.2[/math]
, partenza svantaggiata) Ad esempio se aumentiamo da 3 a 4.5 il parametro b significa che la specie X riceverà, nel suo tasso di riproduzione - mortalità, un maggior danno in seguito alla interazione con la specie Y, di quanto avvenga al contrario, e dunque sarà più vulnerabile. Si noti che i parametri di interazione tra le due specie hanno, nelle equazioni segno negativo. Avremo dunque:
[math] b = 4.5 \gt c = 3 [/math]
(X risulta svantaggiata).

Parametri della simulazione:

























a = 2
s = 2
b = 4.5
e = 2
d = 2
c = 3


Valore numerico delle prime 10 Iterazioni:





























































Iteraz. n
[math]X_n[/math]
[math]Y_n[/math]
0 0.4 0.2
1 0.12 0.08
2 0.168 0.1184
3 0.190042 0.149089
4 0.180352 0.168724
5 0.158717 0.189223
6 0.131904 0.216737
7 0.100363 0.253759
8 0.065974 0.302327
9 0.033487 0.362013
10 0.010179 0.425551


Già alla decima iterazione la numerosità delle due specie è quasi rovesciata: X da 0.4 a 0.01; Y da 0.2 ad oltre 0.4. Il grafico delle prime 100 iterazioni ed il Ritratto di fase confermano che, con questi dati, la specie X, pur partendo avvantaggiata, è destinata ad estinguersi e la specie Y ad occupare l'intera nicchia ecologica con un valore di densità Y = 0.5. Ancora una volta il modello è in accordo con il principio della sopravvivenza del più adatto, che è uno dei punti centrali di discussione nella teoria della evoluzione di Darwin.

Grafico delle prime 100 iterazioni:

Competizione di cibo tra 2 specie: simulazione 3 - grafico prime 100 iterazioni

Ritratto di fase delle prime 100 iterazioni:

Competizione del cibo tra 2 specie: simulazione 3 ritratto fase

Il risultato ottenuto è riferito ad un ecosistema, assunto implicitamente come dato e costante, nel quale vivono le due specie. Tuttavia una cambiamento dell'ecosistema può cambiare la posizione relativa delle due specie nella competizione per la sopravvivenza. Quella che prima era più adatta può divenire ora meno adatta e quindi essere destinata all'estinzione.


La mappa logistica


La biologia evoluzionistica aveva, nel secondo dopoguerra, bisogno di nuovi paradigmi e modelli, e le equazioni differenziali, continue per natura, erano spesso troppo complicate, quindi irrisolvibili. Mediante l'uso di metodi numerici a queste si sostituirono equazioni discrete, chiamate anche equazioni alle differenze finite, risolubili spesso in maniera ricorsiva. Esse possono essere usate per modellare sistemi che evolvono in maniera discreta. Un esempio semplice può essere quello di voler calcolare il numero di individui presenti negli anni, partendo da un dato anno, dove la dipendenza dell'anno corrente deriva solamente dal numero di individui dell'anno precedente (mappe del primo ordine). Se…
[math]X_n[/math]
… è il numero di individui al tempo n allora, il numero al tempo
[math]n+1[/math]
è dato dalla equazione ricorrente:
[math]X_{n+1} = f(X_n)[/math]
. La più semplice delle relazioni funzionali è quella lineare dove lo stato futuro è calcolato da una semplice proporzionalità con lo stato attuale. Cioè
[math] X_{n+1} = K*X_n [/math]


dove K è un parametro dipendente dal tasso di crescita al netto di quello di mortalità. Come scritto all'inizio, questo è il modello maltusiano di crescita esponenziale di una popolazione, con cibo infinito e senza alcun altro vincolo dovuto agli spazi e ad altre risorse limitate. Secondo questo modello, analogo a quello di crescita degli interessi in matematica finanziaria, la popolazione è destinata, se K è maggiore di 1, ad aumentare indefinitamente. E' facile comprendere che le popolazioni, nel mondo reale non si possono comportare in questa maniera. Vi sono infatti molti fenomeni che possono modificare la evoluzione di una popolazione, facendola anche decrescere, dopo un certo tempo. Le cause potrebbero essere, la scarsità di cibo, le malattie, la diminuzione della fertilità, l'interazione con altre specie, ecc.. Più realistica appare una funzione che fa crescere la popolazione fino ad un determinato limite per poi assestarsi, eventualmente anche con oscillazioni, attorno ad un determinato valore di equilibrio.

Una tale funzione, denominata modello logistico (da non confondere con la funzione continua logistica di Verhulst risalente al 1838), è stata studiata dal biologo e matematico Robert May negli anni 70 dello scorso secolo. Si tratta di una mappa monodimensionale. Chiamando X la percentuale (compresa tra 0 ed 1) numerica di una popolazione,
[math](1-X)[/math]
rappresenterà la percentuale di sviluppo rimanente per la popolazione. Secondo il modello logistico (che può valere anche per lo sviluppo dei mercati ed altri fenomeni di crescita) la percentuale della popolazione al tempo
[math]n+1[/math]
può essere assunta come proporzionale (mediante un parametro K) sia alla numerosità degli individui viventi (X) che alla numerosità rimanente possibile:
[math](1 - X)[/math]
. Quando
[math]X = 1[/math]
la nicchia è satura e la popolazione non può più crescere. Il parametro K rappresenta il tasso di riproduzione al netto del tasso di mortalità della specie.


[math] X_{n+1} = X_n\cdot (X_n - 1)\cdot K \, \, \, \, (\mbox{con } 0 \lt X_n \lt 1 \mbox{ ed il parametro } 0 \lt K \lt 4)[/math]




Punti fissi:

Nel caso delle mappe monodimensionali i punti fissi sono dati dalla soluzione dell'equazione:


[math]X_n = X_{n+1}[/math]



dunque nel caso della logistica da:


[math] \displaystyle \begin{equation}X_n = X_n\cdot (X_n - 1)\cdot K \, \, \, \, \, \, \, \text{(1)} \end{equation} [/math]




Un punto fisso banale si trova per
[math]X_o = 0[/math]
; la popolazione è inesistente e tale è destinata a restare. Vedremo però che anche per
[math]X_o[/math]
diverso da zero e per (K \lt 1),
[math]X_n = 0[/math]
resta un punto fisso attrattore.

Se
[math]X_n[/math]
è diverso da zero possiamo dividere entrambi i membri della
[math] (1) [/math]
per
[math]X_n[/math]
, dunque:


[math] 1 = (X_n -1)\cdot K [/math]




da cui:


[math] X_n = (K - 1)/K) [/math]




che è il punto fisso significativo e dipendente dal valore di K.

Andamenti della popolazione al variare di K:


  1. Se:
    [math] K \lt 1 [/math]
    la popolazione, partendo da
    [math]X_o[/math]
    tende ad estinguersi.

    Andamento popolazione con k minore 1


  2. Se:
    [math] 1 \lt K \lt 2 [/math]
    si tende al punto fisso attrattore
    [math](K - 1)/K[/math]
    , indipendentemente da
    [math]X_o[/math]


    Andamento popolazione con k maggiore d 1 e minore di 2


  3. Se:
    [math] 2 \lt K \lt 3 [/math]
    si hanno oscillazioni smorzate tra valori inferiori e superiori a
    [math](K -1)/K[/math]


    Andamento popolazione con k maggiore di 2 e minore di 3



  4. Se:
    [math] 3 \lt K \lt 3.45 [/math]
    la popolazione continua ad oscillare permanentemente tra un massimo ed un minimo. E' come se il punto fisso si fosse sdoppiato.

    Andamento popolazione con k maggiore di 3 e minore di 3.45



  5. Se:
    [math] 3.45 \lt K \lt 3.57 [/math]
    si hanno dei continui sdoppiamenti di periodo.

    Andamento popolazione con k maggiore di 3.45 e minore di 3.57



  6. Se:
    [math] 3.57 \lt K \lt 4 [/math]
    il sistema diventa caotico ed imprevedibile. Il punto fisso non esiste più.

    Andamento popolazione con k maggiore 3.57 e minore di 4



  7. Se: K > 4 il sistema diverge, si distrugge o quantomeno perde significato fisico, biologico od economico.1



Coesistenza tra due Specie


Pensate alle tigri e agli elefanti. Non competono per il cibo, le tigri sono carnivore e gli elefanti no, ne sono uno preda dell'altro. Difficilmente una tigre osa aggredire un elefante, a meno che non si tratti di un cucciolo o di un individuo malato isolato dal branco. L'elefante è molto più lento della tigre nei movimenti, ma è dotato di una spessa corazza a prova degli artigli e dei denti della tigre; inoltre se la tigre arriva alla portata della sua proboscide può facilmente avere spezzata la sua colonna vertebrale. Insomma se una tigre assetata vede in riva ad un fiume un branco di elefanti, che si fanno la doccia, preferisce spostarsi in un'altra ansa dello stesso fiume dove, magari può incontrare un branco di zebre.

Da ragazzino avevo in casa un gatto e una tartaruga. Il gatto aveva la sua ciotola con carne o pesce e la tartaruga gli avanzi di vari tipi di insalate. Mangiavano insieme senza problemi. Ogni tanto, soprattutto quando era stata messa la cera sul pavimento, il gatto si divertiva con le zampate a far scivolare, e poi con un balzo dall'altro lato, a intercettare la tartaruga. La tartaruga ritirava zampe e testa nella sua casa e aspettava pazientemente che il gioco finisse.

Molti altri esempi si potrebbero fare: mosche e api che, soprattutto in campagna, condividono lo stesso habitat, ma non sono né nel rapporto preda-predatore né in competizione per il cibo.

Nel seguito si è provato a modellare, con una mappa logistica bi-dimensionale, la coesistenza di due specie che sono in interazione per l'habitat.



















































0 < X < 1 % di Numerosità della popolazione X rispetto al Max
0 < Y < 1 % di Numerosità della popolazione Y rispetto al Max
1 - X % di espansione rimanente per la popolazione X
1 - Y % di espansione rimanente per la popolazione Y
Modello di sistema dinamico a tempi discreti (Mappa):
[math]X_{n + 1} = X_n \cdot (1 - X_n) \cdot (C_1 - Y_n)[/math]
[math]K_1 = C_1 - Y_n[/math]

[math]Y_{n + 1} = Y_n \cdot (1 - Y_n) \cdot (C_2 - X_n)[/math]
[math]K_2 = C_2 - X_n[/math]


Si può osservare che anche in questo caso le due specie, come nel caso di competizione per il cibo, sono in posizione simmetrica. Inoltre, rispetto alla mappa di May, dove K è una costante, qui si hanno due coefficienti
[math]K_1[/math]
e
[math]K_2[/math]
(riproduzione - mortalità) che decrescono linearmente con la numerosità dell'altra popolazione; questo è dovuto al fatto che, condividendo lo stesso habitat, la numerosità di ciascuna specie influisce negativamente sul K dell'altra specie.

Anche in questo caso si hanno dei punti fissi significativi (a parte quello banale
[math]X_o=Y_o=0[/math]
), se (1 \lt C1, C2 \lt 3). Questi punti fissi dipendono dai valore di
[math]C_1[/math]
e
[math]C_2[/math]
.

1° Simulazione:

Si vuole mostrare come in questa situazione, diversa dalla precedente (competizione per il cibo), anche se le due popolazioni partono da condizioni iniziali molto diverse non vi è alcuna estinzione, al contrario, sempre che abbiano
[math]C_1 = C_2[/math]
, dopo un breve transitorio iniziale, la numerosità delle due popolazioni diventa identica. Nell'esempio numerico si è assunto
[math]C_1 = C_2 = 3.7[/math]
e condizioni iniziali
[math]X_o = 0,98[/math]
;
[math]Y_o = 0.01[/math]
(quindi valori molto diversi).

Valore numerico delle prime 10 Iterazioni:





























































Iteraz. n
[math]X_n[/math]
[math]Y_n[/math]
0 0.98 0.01
1 0.072324 0.026928
2 0.246438 0.095056
3 0.669461 0.297075
4 0.753009 0.632842
5 0.57045 0.684742
6 0.738849 0.675577
7 0.583566 0.649004
8 0.741443 0.709917
9 0.573215 0.60927
10 0.756115 0.744363


Già alla decima iterazione la numerosità delle due popolazioni è divenuta molto simile (0.75 contro 0.74). Il grafico sottostante mostra inoltre che dopo la ventesima iterazione l'andamento
[math]X_n[/math]
e
[math]Y_n[/math]
appaiono sovrapposti. Possiamo concludere che il sistema delle due specie che condividono lo stesso habitat, ma senza competizione per il cibo, è, dopo un breve transitorio, sostanzialmente indipendente dalle condizioni iniziali (
[math]X_o, Y_o[/math]
).

Grafico delle prime 100 iterazioni:

Coesistenza di 2 specie: grafico prime 100 iterazioni

Ritaratto di fase delle prime 100 iterazioni:

Coesistenza di 2 specie: ritratto fase prime 100 iterazioni

Si vede quindi che dopo qualche decina di iterazioni i valori di
[math]X_n[/math]
e
[math]Y_n[/math]
coincidono e ad ogni iterazioni oscillano tra due punti estremi situati sulla bisettrice del piano X,Y.

I ritratti di fase inducono spesso a suggestioni visive. In questo caso non si può non pensare ad un aereo che dopo il decollo fa una stretta virata a destra e poi un ampia virata a sinistra.

2° Simulazione:

In questa seconda simulazione si mostra che pur essendo la specie X in vantaggio iniziale (
[math]X_o = 0.6[/math]
;
[math]Y_o = 0.4[/math]
) e pur avendo la specie X il vantaggio riproduttivo (
[math]C_1 = 3[/math]
;
[math]C_2 =2[/math]
) non vi è alcuna estinzione della specie svantaggiata, si trova infatti per Y una tendenza ad attestarsi sul valore
[math]Y = 0.27[/math]
contro un valore di
[math]X = 0.63[/math]
della specie più avvantaggiata sia dalle condizioni iniziali che dalle costanti
[math]C_1[/math]
e
[math]C_2[/math]
.

Valore numerico delle prime 10 Iterazioni:






























































Iteraz. n
[math]X_n[/math]
[math]Y_n[/math]
0 0.6 0.4
1 0.624 0.336
2 0.625038 0.306991
3 0.631148 0.29252
4 0.630302 0.283287
5 0.633052 0.278097
6 0.63229 0.274427
7 0.633694 0.272334
8 0.633162 0.270758
9 0.633915 0.26988
10 0.63357 0.26918


Grafico delle prime 100 iterazioni:

Coesistenza di 2 specie: simulazione 2 - grafico prime 100 iterazioni

Ritratto di fase delle prime 100 iterazioni:

Coesistenza di 2 specie: simulazione 2 - ritratto fase prime 100 iterazioni

3° Simulazione:

Rispetto alla seconda simulazione abbiamo lasciato invariate le condizioni iniziali (
[math]X_o = 0.6[/math]
;
[math]Y_o = 0.4[/math]
), ma abbiamo aumentato il parametro
[math]C_1[/math]
della specie X lasciando invariato il parametro
[math]C_2[/math]
della specie X:
[math]C_1 = 3.4[/math]
e
[math]C_2 = 2[/math]
.

Valore numerico delle prime 10 Iterazioni:





























































Iteraz. n
[math]X_n[/math]
[math]Y_n[/math]
0 0.6 0.4
1 0.72 0.336
2 0.617702 0.285573
3 0.73546 0.282018
4 0.60663 0.256049
5 0.750241 0.26542
6 0.587356 0.243668
7 0.764997 0.260342
8 0.564437 0.237817
9 0.777416 0.26021
10 0.543311 0.235349


Grafico delle prime 100 iterazioni:

Coesistenza di 2 specie: simulazione 3 - grafico prime 100 iterazioni

L'aumento del parametro
[math]C_1[/math]
della specie X comporta che si inneschino delle oscillazioni, che presto diventano permanenti, comprese tra il limite superiore 0.8 ed il limite inferiore 0.5. Pur non essendo nulla cambiato (né le condizioni iniziali, né il parametro
[math]C_2[/math]
) per la specie Y si può osservare che in essa vengono indotte, dalla specie coesistente X, delle piccole oscillazioni. Risulta comunque, a parte il transitorio iniziale,
[math] 0.2 \lt Y \lt 0.3 [/math]
.

Ritratto di fase delle prime 100 iterazioni:

Coesistenza di 2 specie: simulazione 3 - ritratto fase prime 100 iterazioni

4° Simulazione:

In questa simulazione più che confrontare l'evoluzione di due specie vogliamo toccare con mano quanto intuito da Poincaré: "…può accadere che piccole differenze nelle condizioni iniziali ne producano di grandissime nei fenomeni finali…" ed osservato da Lorenz, sul suo primitivo computer, che lo ha portato a titolare la sua conferenza: "Può, il batter d'ali di una farfalla in Brasile, provocare un tornado in Texas?".

Abbiamo visto che normalmente, nel modello riportato sopra (1° Simulazione), gli andamenti a regime, a parte un breve transitorio iniziale, sono indipendenti dalle condizioni iniziali.

Assumiamo eguali i parametri delle equazioni che descrivono l'andamento di
[math]X_n[/math]
ed
[math]Y_n[/math]
. Poniamo le due costanti
[math]C_1[/math]
e
[math]C_2[/math]
al livello caotico:
[math]C_1 = C2 = 4[/math]
. Assumiamo poi le stesse condizioni iniziali
[math]X_o = Y_o = 0.6[/math]
. Infine, come suggerisce Poincaré, introduciamo una piccola differenza nella condizione iniziale di
[math]X_o[/math]
aggiungendo un miliardesimo. Dunque
[math]X_o = 0.6 + 10^{-9} = 0.600000001[/math]


Valore numerico delle prime e ultime 10 Iterazioni:

























































































































Iteraz. N
[math]X_n[/math]
[math]Y_n[/math]
0 0.6 0.6
1 0.816 0.816
2 0.478058 0.478058
3 0.87879 0.87879
4 0.332466 0.332466
5 0.813944 0.813944
6 0.482493 0.482493
7 0.878299 0.878299
8 0.333679 0.333679
9 0.81516 0.81516
10 0.479873 0.479873
90 0.522222 0.426411
91 0.891633 0.850611
92 0.304306 0.394986
93 0.763196 0.883167
94 0.563299 0.333983
95 0.901816 0.764454
96 0.286489 0.557872
97 0.703615 0.915941
98 0.643152 0.2538
99 0.859781 0.635738
100 0.405587 0.727197


Grafico delle prime 100 iterazioni

Coesistenza di 2 specie: simulazione 4 - grafico prime 100 iterazioni

I valori numerici ed il grafico delle prime 100 iterazioni ci mostrano che all'inizio gli andamenti di
[math]X_n[/math]
ed
[math]Y_n[/math]
sono perfettamente sovrapposti, ma dopo la 80° iterazione divergono sostanzialmente come previsto da Poincaré. Effettivamente determinismo e predicibilità dei fenomeni non sempre coincidono.

Da un punto di vista dell'immagine, il ritratto di fase riportato sotto fa pensare ad una libellula. Il corpo dell'insetto corrisponde alle prime iterazioni periodiche, dove X e Y si sovrappongono, e le ali alle ultime, caotiche, dove X e Y si differenziano (nel grafico si può individuare il 100° punto X=0.40; Y=0.72), ma questa suggestione poco ha a che vedere con l'attrattore di Lorenz che assomiglia ad una farfalla.

Ritratto di fase delle prime 100 iterazioni

Coesistenza di 2 specie: simulazione 4 - ritratto fase prime 100 iterazioni

Conclusioni


Tutti avranno osservato le fotografie di uccelli, neanche troppo piccoli, tranquillamente posati a becchettare sulla schiena di un ippopotamo o di un rinoceronte, oppure quelle, ancor più stupefacenti, di uccelli posati nella bocca aperta di un coccodrillo, che si guarda bene dal divorare l'uccello come facilmente potrebbe fare. Si tratta di esempi di cooperazione tra specie. Nel primo caso il volatile si nutre dei parassiti presenti sulla schiena dei pachidermi. La cooperazione consiste nel fatto che l'uccello si nutre ed il pachiderma si libera dei parassiti. Nel caso del coccodrillo il volatile, nutrendosi, svolge il ruolo benefico di igienista dentale per l'alligatore. Un altro esempio di cooperazione tra specie è quello tra gli umani e i cani o i gatti. Gli animali ricevono cibo, cure e un ricovero sicuro; gli umani compagnia, affetto e fedeltà; per non parlare della pet-therapy , oggi assai diffusa, in alcune cure psicologiche. Un altro esempio clamoroso di cooperazione tra specie molto lontane è quello tra gli umani e la propria flora batterica intestinale senza la quale il nostro metabolismo non potrebbe funzionare. Pare che circa 2 Kg del nostro peso corporeo sia dovuto ai batteri, indispensabili e residenti del nostro intestino. Dunque tra specie diverse, oltre ad avere diversi livelli di competizione, come visto nei paragrafi precedenti, possiamo avere anche diversi livelli di cooperazione. Non possiamo qui entrare nei dettagli di quello che accade invece all'interno della stessa specie, salvo effettuare la generica osservazione che molto spesso, negli animali le competizioni per il cibo, gli accoppiamenti, il territorio si risolvono in combattimenti rituali in cui il perdente riconosce la superiorità del vincente e si allontana dal territorio o dal branco.

Infine, per concludere, vogliamo fare cenno a come si è tentato di modellare l'alternativa cooperazione/competizione all'interno delle organizzazioni umane.


Il Dilemma del Prigioniero


Questo celebre gioco a due persone e a somma non nulla, è stato proposto per la prima volta da Merrill Flood e Melvin Dresher della RAND Corporation nel 1950. Successivamente è stato formalizzato dal matematico Albert W. Tucker, a cui dobbiamo anche il nome del dilemma. Il gioco suppone che due presunti ladri siano stati catturati e messi in carcerazione preventiva. Se entrambi coprono il compagno, negando il fatto, avranno uno sconto di pena di tre anni. Se entrambi accusano il compagno avranno entrambi uno sconto di pena di un anno.

Il gioco può essere rappresentato con la tabella riportata sotto. Entrambi i giocatori possono scegliere tra cooperazione con il compagno o defezione. Nelle celle della tabella il primo numero rappresenta il risultato del giocatore di Riga ed il secondo numero (in Corsivo) rappresenta il risultato del giocatore di Colonna. I valori numerici indicano gli sconti di pena che avranno i due giocatori in ognuna delle 4 situazioni possibili (ad esempio, se il giocatore di Riga sceglie Cooperazione ed il giocatore di colonna sceglie Defezione, Il giocatore di Riga non avrà alcuno sconto di pena (0), mentre l'altro, che ha tradito il compagno, avrà 5 anni di sconto.

Dilemma del prigioniero: tabella sconti pena

Questo gioco ha un punto di equilibrio stabile nella defezione di entrambi i giocatori, se infatti uno solo di essi proverà a scostarsi dal punto di equilibrio, cooperando, cadrà nella situazione peggiore in cui non si ha nessuno sconto di pena. Nel 1950 Nash, dottorando a Princeton in un breve articolo, aveva dimostrato l'esistenza di punti di equilibrio nei giochi non cooperativi ricorrendo ai risultati di Kakutani, che sono una generalizzazione del metodo di Browuer, per la ricerca del punto fisso alle funzioni con più valori. L'aspetto inquietante del dilemma del prigioniero è dato dal fatto che proprio il punto di equilibrio è l'unico del gioco a non essere Pareto - ottimale cioè è l'unico ad essere dominato (infatti il risultato 3,3, cooperazione, che non è un punto di equilibrio, è migliore per entrambi i giocatori del punto di equilibrio di Nash 1,1 defezione).

Il Gioco iterato è stato simulato al computer da Axelrod nel 1984. Egli ha mostrato che la strategia migliore, che tende a pareggiare con la migliore fra tutte le altre, non è ne quella di Defezione ad oltranza (punteggio1,1) ne quella di Cooperazione ad oltranza (punteggio 3,3) ma è quella denominata "Tit for Tat" ovvero "Occhio per occhio, dente per dente": alla prima mossa collabora alle successive copia la precedente del tuo avversario. Il dilemma del prigioniero fa riflettere profondamente sulle molte situazioni in cui le alternative tra cooperazione e competizione/defezione si presentano in ogni organizzazione.


Vincete più che potete


Questo gioco, in uso in diverse business school, mette insieme la morra cinese, con il dilemma del prigioniero. L'aula viene divisa in tavoli di 4 giocatori ed ogni tavolo gioca 10 partite con le seguenti regole.

  • Ognuno dei 4 giocatori può scegliere se giocare cooperazione (mano tesa) o defezione (indice puntato). I punti di ogni giocatore sono cosi computati:

  • Tutti hanno giocato indice puntato, 6 punti ciascuno.

  • Tutti hanno giocato mano tesa, 9 punti ciascuno.

  • Giocata mista: 10 punti agli indici puntati e 0 punti alle mani tese.


Le regole del gioco, i punteggi previsti, la suddivisione dei giocatori in tavoli di 4 persone vengono distribuite ai partecipanti su un foglio di carta titolato: "Vincete più che potete". Durante le prime 4 partite i giocatori non possono discutere tra loro, nelle successive 6 giocate possono farlo.

Alla fine del gioco i risultati di ciascuna persona e di ciascun tavolo vengono sommati per le 10 partite e commentati in aula. Solitamente i risultati oscillano tra due situazioni estreme: i tavoli dove uno o più giocatori conoscono il dilemma del prigioniero e sanno che, il comportamento razionale per massimizzare il proprio punteggio individuale, è quello di giocare principalmente defezione. All'altro estremo vi sono i tavoli dove l'esortazione "Vincete più che potete" viene interpretata come rivolta non al singolo giocatore, ma al tavolo intero pensato come squadra. In questo tipo di tavolo, dopo le prime giocate di assestamento, tutti giocano mano tesa (Si parla di emergere della cooperazione all'interno della squadra). Se per le 10 partite, in un tavolo, tutti giocassero sempre mano tesa si avrebbe il punteggio massimo possibile della squadra pari a: (9*4)*10 = 360). Il gioco vuole focalizzare l'attenzione sulle realtà molteplici e sul grado in cui ciascun individuo si sente, o propende a sentirsi, partecipe di un gruppo più o meno esteso (la squadra, il gruppo di progetto, gli amici del caffè, l'ufficio di appartenenza, l'area di business, l'azienda, la nazionalità, ecc.).

Da un punto di vista macroeconomico alcuni (vedi ad esempio Wikipedia "Equilibrio di Nash") hanno interpretato, la superiorità sociale indiscutibile dell'ottimo paretiano rispetto all'equilibrio di Nash, come una falsificazione della liberale "Mano invisibile" (sia essa provvidenza, o compensazione automatica dei mercati) di Adam Smith. Forse hanno supposto che le "Mani visibili" e gli "Aiuti di stato" delle pubbliche amministrazioni, spesso inefficienti e talora corrotte, siano sempre migliori della libera competizione dei mercati, che invece porta sovente, anche se non sempre, a premiare i più meritevoli (o adatti/efficienti).


Riferimenti



  1. A. Vulpio, "Determinismo e Caos", Carocci Roma 1999;

  2. Bertuglia, Vaio, "Non linearità, Caos, Complessità", Bollati Boringheri Torino 2003;

  3. Bischi, Carini,… "Sulle Orme del Caos", Bruno Mondadori Milano 2004;

  4. R.Chiappi, "Il foglio elettronico come strumento per il Problem Solving", F.Angeli Milano 2008;

  5. R.Chiappi, "P. Management, P. Solving, D. Making"

  6. Hume, "Il modello preda-predatore di Volterra"

  7. V. Franceschini, "Sistemi Dinamici e Caos", Università di Modena 2006

  8. E. De Sanctis: Come nasce il Caos

  9. M. Impedovo: Sistemi dinamici Discreti

  10. F. Ruini: Appunto sulla mappa logistica

  11. Wikipedia, Equilibrio di Nash

Estratto del documento

Iteraz n Xn Yn

0 0 0

1 1 0

2 -0,4 0,3

3 1,076 -0,12 Modello di sistema dinamico a tempi discreti:

-0,7408864 0,3228

4

5 0,5543222792

-0,22226592 Xn + 1 = Yn + 1 - a*Xn^2 a= 1,4

6 0,3475516151

0,1662966838 Yn + 1 = b*Xn b= 0,3

7 0,9971877086

0,1042654845

8 -0,287871172

0,2991563126 Condizioni iniziali: Xo= 0

9 1,183138576

-0,08636135161 Yo= 0

10 -1,046104998

0,3549415729

11 -0,1771283616

-0,3138314995

12 0,6422442614

-0,05313850849

13 0,3693927237

0,1926732784

14 1,0016419 0,1108178171

15 -0,2937832782

0,3004925701

16 1,17966051-0,08813498347

17 -1,036373469

0,3538981529

18 -0,1497998011

-0,3109120407

19 0,6576719868

-0,04493994032

20 0,3495146406

0,197301596

21 1,026276918

0,1048543922

22 -0,3696876463

0,3078830755

23 1,116546537

-0,1109062939

24 -0,8562529319

0,3349639612

25 0,3085272444

-0,2568758796

26 0,6098594357

0,09255817332

27 0,5718582296

0,1829578307

28 0,7251272621

0,1715574689

29 0,4354241041

0,2175381786

30 0,952106368

0,1306272312

31 -0,1384819192

0,2856319104

32 1,258783772

-0,04154457575

33 -1,259895793

0,3776351315

34 -0,844637242

-0,377968738

35 -0,3767456368

-0,2533911726

36 0,5478966427

-0,113023691

37 0,4667092855

0,1643689928

38 0,8594244127

0,1400127857

39 0,105958336

0,2578273238

40 1,242109287

0,03178750079

41 -1,128182173

0,3726327862

42 -0,4092802366

-0,338454652

43 0,4270309111

-0,122784071

44 0,6219183704

0,1281092733

45 0,5866138301

0,1865755111

46 0,7048134112

0,175984149

47 0,4805174266

0,2114440234

48 0,8881882271

0,144155228

49 0,03972557048

0,2664564681

50 1,264247099

0,01191767115

51 -1,225731346

0,3792741296

52 -0,7241101374

-0,3677194039

53 -0,1017890915

-0,2172330412

54 0,768261532

-0,03053672744

55 0,1431471784

0,2304784596

1,201790899

0,04294415353

56

57 -0,9790777574

0,3605372697

58 0,01850671262

-0,2937233272

59 0,705797175

0,005552013787

60 0,3081425007

0,2117391525

61 1,078806632

0,0924427502

62 -0,5369104973

0,3236419895

63 0,9200599546

-0,1610731492

64 -0,3461875972

0,2760179864

65 1,108233793

-0,1038562791

66 -0,823311275

0,3324701379

67 0,3834921001

-0,2469933825

68 0,5471139503

0,11504763

69 0,6959804856

0,1641341851

70 0,4859898142

0,2087941457

71 0,8781336064

0,1457969442

72 0,06623086123

0,2634400819

73 1,257298944

0,01986925837

74 -1,193251631

0,3771896832

75 -0,6161995523

-0,3579754892

76 0,1104418673

-0,1848598657

77 0,7980637658

0,0331325602

78 0,1414644761

0,2394191298

79 1,211402053

0,04243934284

80 -1,012053563

0,3634206158

81 -0,07053276506

-0,303616069

82 0,6894191117

-0,02115982952

83 0,3134219743

0,2068257335

84 1,069299066

0,09402659228

85 -0,5067340972

0,3207897198

86 0,9612984964

-0,1520202292

87 -0,445752948

0,2883895489

88 1,010215582

-0,1337258844

89 -0,5624756152

0,3030646746

90 0,8601343298

-0,1687426846

91 -0,2045061759

0,2580402989

92 1,199488413

-0,06135185276

93 -1,075633285

0,3598465238

94 -0,2599352267

-0,3226899856

95 0,5827171634

-0,07798056802

96 0,4466364224

0,174815149

97 0,8955374177

0,1339909267

98 0,01120875359

0,2686612253

99 1,268485335

0,003362626077

100 -1,249314436

0,3805456004

Iteraz. n Xn Yn

0 1 0,5 X Densita Prede

1 0,79 0,2 Y Densità Predatori

2 0,895939 0,038

3 1,141294413

0,011245682 Modello di sistema dinamico a tempi discreti (Mappa):

4 1,425570868

0,006087224834

5 1,702905549

0,005025435492 Xn + 1 = Xn*(1 + r) - s*Xn^2 - b*Xn*Yn r = 0,5

6 1,936824147

0,005542580691 Yn + 1 = Yn*(-e + c*Xn) s = 0,21

7 2,106730783

0,007409455702 b = 1

8 2,212440382

0,01116405499 e = 0,6

9 2,266033354

0,0180013731 c = 1

10 2,279927815

0,02999088799

11 2,259919786

0,05038252693

12 2,203499347

0,08363095332

13 2,101332301

0,1341021791

14 1,942929749

0,2013319331

15 1,730475859

0,2703746424

16 1,498982190,3056520062

17 1,318447374

0,27477571

18 1,250350018

0,1974118874

19 1,300382285

0,1283868244

20 1,428512717

0,08991985739

21 1,585781213

0,07449974533

22 1,732444091

0,07344044933

23 1,841148533

0,08316720292

24 1,896735763

0,1032228519

25 1,893819793

0,1338527636

26 1,834060461

0,1731813549

27 1,727072283

0,2137162627

28 1,595121470,2408736761

29 1,474132807

0,2396985666

30 1,401507508

0,2095283808

31 1,396118771

0,1679385703

32 1,450394965

0,1336990482

33 1,539910455

0,1136969975

34 1,636804403

0,1068649966

35 1,717672491

0,1107980991

36 1,766610144

0,1238359873

37 1,775753911

0,144468319

38 1,744897274

0,169859191

39 1,681579107

0,1944713247

40 1,601531002

0,2103361218

41 1,526807358

0,2106581469

42 1,479037079

0,1952395205

43 1,470403486

0,1716227779

44 1,499212351

0,1493810641

45 1,552860679

0,1343252979

46 1,614313525

0,1279932946

47 1,667587268

0,1298253298

48 1,700907903

0,1385998691

49 1,708067826

0,1525856912

50 1,688800932

0,1690752951

51 1,648736679

0,1840893389

52 1,598740319

0,1930612419

53 1,552701860,1928180464

54 1,523378407

0,1836981114

55 1,517882702

0,1696228694

56 1,535523175

0,1556938977

57 1,569068576

0,1456552496

58 1,608044788

0,1411499253

59 1,642072092

0,1422854465

60 1,663221018

0,1482716929

61 1,667299059

0,1576455803

62 1,654330169

0,1682549795

63 1,628416220,1773963009

64 1,596884045

0,1824372332

65 1,568486844

0,1818687671

66 1,550839791

0,1761375082

67 1,548026778

0,1674785515

68 1,559537635

0,1587741517

69 1,580939084

0,1523497739

70 1,605685553

0,1494458477

71 1,627137811

0,1502955299

72 1,640163911

0,1543742215

73 1,642117932

0,160574494

74 1,633218868

0,1673375597

75 1,616374630,172896324

76 1,596436655

0,1757274373

77 1,578909161

0,1751012597

78 1,568374390,1714082273

79 1,567171683

0,1659873375

80 1,574861182

0,1605382526

81 1,588626885

0,1565025106

82 1,604331802

0,1547225895

83 1,617756420,1553928171

84 1,625648378

0,1581520373

85 1,626399108

0,1622083804

86 1,620296544

0,1664905369

87 1,609354988

0,1698697194

88 1,596746871

0,1714588486

89 1,585927807

0,1709010708

90 1,579669878

0,168496118

91 1,579311621

0,1650705714

92 1,584482269

0,1616555288

93 1,593360431

0,1591470017

94 1,603314644

0,1580903343

95 1,611673670,1586143475

96 1,616402614

0,1604659591

97 1,616547269

0,1630980202

98 1,612387979

0,165796847

99 1,605296176

0,1678507348

100 1,597329201

0,1687397019

Iteraz. n Xn Yn

0 0,4 0,2 X Densita Popolazione 1

1 0,12 0,08 Y Densità Popolazione 2

2 0,168 0,1184

0,1900416 0,14908928 Modello di sistema dinamico a tempi discreti (Mappa):

3

4 0,1803523366

0,1687238372 a = 2

5 0,1587169203

0,1892229931 Xn + 1 = Xn*(a - s*Xn - b*Yn) s = 2

6 0,1319037108

0,2167366318 Yn + 1 = Yn*(e - d*Yn - c*Xn) b = 4,5

7 0,1003625967

0,2537586305 e = 2

8 0,06597445388

0,3023267506 d = 2

9 0,03348736045

0,3620130461 c = 3

10 0,01017903814

0,425550617

11 0,0006582188191

0,4759194909

12 -0,00009409510952

0,4979004807

13 0,00002261707434

0,500131734

14 -0,000005668699123

0,4999660307

15 0,000001416243986

0,5000085002

16 -0,0000003541191803

0,4999978755

17 0,00000008852615873

0,5000005312

18 -0,00000002213176696

0,4999998672

19 0,000000005532927535

0,5000000332

20 -0,000000001383232771

0,4999999917

21 0,0000000003458081374

0,5000000021

22 0 0,4999999995

23 0 0,5000000001

24 0 0,5

25 0 0,5

26 0 0,5

27 0 0,5

28 0 0,5

29 0 0,5

30 0 0,5

31 0 0,5

32 0 0,5

33 0 0,5

34 0 0,5

35 0 0,5

36 0 0,5

37 0 0,5

38 0 0,5

39 0 0,5

40 0 0,5

41 0 0,5

42 0 0,5

43 0 0,5

44 0 0,5

45 0 0,5

46 0 0,5

47 0 0,5

48 0 0,5

49 0 0,5

50 0 0,5

51 0 0,5

52 0 0,5

53 0 0,5

54 0 0,5

55 0 0,5

56 0 0,5

57 0 0,5

58 0 0,5

59 0 0,5

60 0 0,5

61 0 0,5

62 0 0,5

63 0 0,5

64 0 0,5

65 0 0,5

66 0 0,5

67 0 0,5

68 0 0,5

69 0 0,5

70 0 0,5

71 0 0,5

72 0 0,5

73 0 0,5

74 0 0,5

75 0 0,5

76 0 0,5

77 0 0,5

78 0 0,5

79 0 0,5

80 0 0,5

81 0 0,5

82 0 0,5

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