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Determina l'insieme di definizione e quindi risolvi in $RR$ la seguente equazione:
$1/(x^2-5x+6)+1/(x^2-4x+3)-1/(x^2-3x+2)=0$
$1/(x^2-5x+6)+1/(x^2-4x+3)-1/(x^2-3x+2)=0$;
Il m.c.m. è $(x^2-5x+6)(x^2-4x+3)(x^2-3x+2)$, quindi
$((x^2-4x+3)(x^2-3x+2)+(x^2-5x+6)(x^2-3x+2)-(x^2-5x+6)(x^2-4x+3))/((x^2-5x+6)(x^2-4x+3)(x^2-3x+2))=0$
Affinchè l'equazione abbia significato dobbiamo porre il denominatore diverso da zero,
ottenendo così l'insieme di definizione dell'equazione.
$(x^2-5x+6)(x^2-4x+3)(x^2-3x+2)!=0$
Studiamo singolarmente le tre equazioni di secondo grado
1)$x^2-5x+6!=0$
$\Delta=b^2-4ac=(-5)^2-(4*1*6)=25-24=1$
$x_(1,2)=(-b+-sqrt(\Delta))/(2a)=(5+-1)/2 => x_1!=3 ^^ x_2!=2$.
2)$x^2-4x+3!=0$
$(\Delta)/4=(b/2)^2-ac=(-2)^2-(3*1)=4-3=1$
$x_(1,2)=(-b/2+-sqrt((\Delta)/4))/a=(2+-1) => x_1!=3 ^^ x_2!=1$.
3)$x^2-3x+2!=0$
$\Delta=b^2-4ac=(-3)^2-(4*1*2)=9-8=1$
$x_(1,2)=(-b+-sqrt(\Delta))/(2a)=(3+-1)/2 => x_1!=1 ^^ x_2!=2$.
In definitiva l'equazione è risolvibile per $x!=1,x!=2,x!=3$.
Ora possiamo moltiplicare ambo i membri per $(x^2-5x+6)(x^2-4x+3)(x^2-3x+2)$ e otteniamo:
$(x^2-4x+3)(x^2-3x+2)+(x^2-5x+6)(x^2-3x+2)-(x^2-5x+6)(x^2-4x+3)=0$;
Raccogliamo i termini simili
$(x^2-4x+3+x^2-5x+6)(x^2-3x+2)-(x^2-5x+6)(x^2-4x+3)=0$;
$(2x^2-9x+9)(x^2-3x+2)-(x^4-4x^3+3x^2-5x^3+20x^2-15x+6x^2-24x+18)=0$;
$2x^4-9x^3+9x^2-6x^3+27x^2-27x+4x^2-18x+18-x^4+9x^3-29x^2+39x-18=0$
Raccogliamo i termini simili e semplifichiamo, cosi da ottenere:
$x^4-6xì3+11x^2-6x=0$;
$x(x^3-6x^2+11x-6)=0$;
Una soluzione sarà $x=0$. Ora studiamo per quali valori di $x$ è verificata l'equazione
$x^3-6x^2+11x-6=0$
Applichiamo il metodo di Ruffini:
$P(1)=1-6+11-6=0$, pertanto
$(x^3-6x^2+11x-6)=(x-1)(x^2-5x+6)=0$;
Questa equazione è verificata per $x=1 vv x=2 vv x=3$(come visto sopra)
Ma tutte queste soluzioni non appartengono all'insieme di definizione,
pertanto l'unica soluzione accettabile sarà:$x=0$.
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