Matematicamente

$1+x-x^2-|5x^2-2|=0$

$1+x-x^2-|5x^2-2|=0$;
Studiamo il segno dell'argomento del modulo
$5x^2-2>=0$;
$5x^2>=2 => x^2>=2/5 => x<=-sqrt(2/5) vv x>=sqrt(2/5)$.

Quindi per $x<=-sqrt(2/5) vv x>=sqrt(2/5)$, si ha:
$1+x-x^2-|5x^2-2|=0$;
è equivalente all'equazione
$1+x-x^2-5x^2+2=0$;
Semplificando e cambiando di segno
$6x^2-x-3=0$.
Risolviamo l'equazione di secondo grado

$\Delta=b^2-4ac=(-1)^2-(4*6*(-3))=1+72=73$
$x_(1,2)=(-b+-sqrt(\Delta))/(2a)=(1+-sqrt(73))/(12) => x_1=(1-sqrt(73))/(12) ^^ x_2=(1+sqrt(73))/(12)$.
La soluzione $x_1=(1-sqrt(73))/(12)$ non è accettabile per la condizione $x<=-sqrt(2/5) vv x>=sqrt(2/5)$.

Mentre, per $5x^2-2<0$, ovvero per $-sqrt(2/5)<x<sqrt(2/5)$ abbiamo
$1+x-x^2-|5x^2-2|=0$;
è equivalente all'equazione
$1+x-x^2+5x^2-2=0$;
Semplificando
$4x^2+x-1=0$.
Risolviamo l'equazione di secondo grado

$\Delta=b^2-4ac=(1)^2-(4*(-1)*4)=1+16=17$
$x_(1,2)=(-b+-sqrt(\Delta))/(2a)=(-1+-sqrt(17))/8 => x_1=(-1+sqrt(17))/8 ^^ x_2=(-1-sqrt(17))/8$.
La soluzione $x_2=(-1-sqrt(17))/8$ non è accettabile per la condizione $-sqrt(2/5)<x<sqrt(2/5)$

Quindi la soluzione dell'equazione di partenza sarà $S={(1+sqrt(73))/(12); (-1+sqrt(17))/8}$.

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