Compito svolto sulle equazioni di secondo grado e di grado superiore | Sqrt, =$$, =$$\Pm\, +Sqrt

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Compito svolto sulle equazioni di secondo grado e di grado superiore

di Francesca Ricci

Compito svolto sulle equazioni di secondo grado e di grado superiore

1) Risolvere la seguente equazione di secondo grado contenente radicali.

$2/(x-sqrt(2))+1+4/(x-sqrt(2)+2)+12/(x^2-2(sqrt(2)-1)x+2-2sqrt(2))=0$

E' possibile scomporre il polinomio $(x^2-2(sqrt(2)-1)x+2-2sqrt(2))$ mediante la risoluzione delle equazioni di secondo grado

$(-b\pm\sqrt(b^2-4ac))/(2a)$ con $a=1$, $b=-2(sqrt(2)-1)$ e $c=2-2sqrt(2)$.

Quindi

$(2(sqrt(2)-1)\pm \sqrt((2sqrt(2)-2)^2-4(2-2sqrt(2))))/2=$

$(2sqrt(2)-2\pm \sqrt(8+4-8sqrt(2)-8+8sqrt(2)))/2=$

$(2sqrt(2)-2\pm \sqrt(4))/2=$

$(2sqrt(2)-2\pm \2)/2=$

$(2sqrt(2)-2+2)/2=$

$(2sqrt(2))/2=$

$sqrt(2)$

$(2sqrt(2)-2-2)/2=$

$(2sqrt(2)-4)/2=$

$(2(sqrt(2)-2))/2=$

$(sqrt(2)-2)$

Le soluzioni vengono scrite al denominatore cambiate di segno:

$2/(x-sqrt(2))+1+4/(x-sqrt(2)+2)+12/((x-sqrt(2))(x-(sqrt(2)-2)))=0$

$2/(x-sqrt(2))+1+4/(x-sqrt(2)+2)+12/((x-sqrt(2))(x-sqrt(2)+2))=0$

Dopo aver scomposto i denominatori si devono determinare le condizioni di accettabilità:

affichè l'equazione abbia significato deve essere

$x!=sqrt(2) ^^ x!=sqrt(2)-2$

Il m.c.m. è $(x-sqrt(2))(x-sqrt(2)+2)$, quindi

$(2(x-sqrt(2)+2)+(x-sqrt(2))(x-sqrt(2)+2)+4(x-sqrt(2))+12)/((x-sqrt(2))(x-sqrt(2)+2))=0$

$2x-2sqrt(2)+4+x^2-sqrt(2)x+2x-sqrt(2)x+2-2sqrt(2)+4x-4sqrt(2)+12=0$

Svolgendo i calcoli si ottiene

$x^2+8x-2sqrt(2)x+18-8sqrt(2)=0$

$x^2+(8x-2sqrt(2))x+(18-8sqrt(2))=0$

che si scompone utilizzando il metodo di

risoluzione delle equazioni di secondo grado:

$x=(-8+2sqrt(2)\pm \sqrt((-8+2sqrt(2))^2-4(18-8sqrt(2))))/2=$

$(-8+2sqrt(2)\pm \sqrt(64+8-32sqrt(2)-72+32sqrt(2)))/2=$

$(-8+2sqrt(2)\pm \sqrt(0))/2=$

$(-8+2sqrt(2)+0)/2=$

$(2(sqrt(2)-4))/2=$

$sqrt(2)-4$

$(-8+2sqrt(2)-0)/2=$

$(2(sqrt(2)-4))/2=$

$sqrt(2)-4$

2)Risolvere la seguente equazione di secondo grado.

$19/(10+10x)+(x+52)/(10(x^2-7x+12))=(13(x-2))/(x^3-6x^2+5x+12)$

Per prima cosa scomponiamo il polinomo $(x^2-7x+12)$ mediante la

risoluzione delle equazioni di secondo grado $(-b\pm \sqrt(b^2-4ac))/(2a)$

$(7\pm \sqrt(49-48))/2=$

$(7\pm \1)/2=$

$(7+1)/2=$

$8/2=4$

$(7-1)/2=$

$6/2=3$

$19/(10+10x)+(x+52)/(10(x-4)(x-3))=(13(x-2))/(x^3-6x^2+5x+12)$

Poi il polinomio $(x^3-6x^2+5x+12)$ con la regola di Ruffini:

il numero che sostituito alla x rende il polinomio nullo è -1;

scomponendo si ottiene $(x+1)(x^2-7x+12)$ e scomponendo ancora

si avrà $(x+1)(x-4)(x-3)$

$19/(10+10x)+(x+52)/(10(x-4)(x-3))=(13(x-2))/((x+1)(x-4)(x-3))$

Ora possiamo determinare le condizioni di accettabilità:

affichè l'equazione abbia significato deve essere $x!=-1$ $^^$ $x!=3$ $^^$ $x!=4$

Successivamente si può proseguire con i calcoli:

il m.c.m. è $10(x+1)(x-4)(x-3)$, quindi

$(19(x-4)(x-3)+(x+52)(x+1)-10*13(x-2))/(10(x+1)(x-4)(x-3))=0$

$19(x^2-7x+12)+x^2+x+52x+52-130x+260=0$

$19x^2-133x+228+x^2+x+52x+52-130x+260=0$

$20x^2-210x+540=0$

Per semplificare i conti si può dividere entrambi i membri dell'equazione per 10:

$2x^2-21x+54=0$

$x=(21\pm\sqrt(441-432))/4=$

$(21\pm\sqrt(9))/4=$

$(21\pm\3)/4=$

$(21+3)/4=$

$24/4=6$

$(21-3)/4=$

$18/4=9/2$

3)Risolvere la seguente equazione di grado superiore al secondo.

$(x^2+1/x^2)^4-40(x^2+1/x^2)^2+144=0$

Sostituendo $(x^2+1/x^2)$ con t otteniamo un'equazione biquadratica

che ha per incognita t:

$(x^2+1/x^2)=t$

$t^4-40t^2+144=0$

Possiamo scomporre mediante la formula $(-b\pm\sqrt(b^2-4ac))/(2a)$:

$t^2=(40\pm\sqrt(40^2-4*144))/2=$

$(40\pm\sqrt(1600-576))/2=$

$(40\pm\sqrt(1024))/2=$

$(40\pm\32)/2=$

$(40+32)/2=$

$72/2=36$

$t=sqrt(36)=6$

$(40-32)/2=$

$8/2=4$

$t=sqrt(4)=2$

Sapendo quindi che $(x^2+1/x^2)=t$ possiamo scrivere che

$(x^2+1/x^2)=6$

$x^4+1=6x^2$

$x^4-6x^2+1=0$

$x^2=(6\pm\sqrt(36-4))/2=$

$(6\pm\sqrt(32))/2=$

$(6\pm\4sqrt(2))/2=$

$(6+4sqrt(2))/2=$

$(2(3+2sqrt(2)))/2=$

$3+2sqrt(2)$

$x=\pm\sqrt(3+2sqrt(2))$

$(6-4sqrt(2))/2=$

$(2(3-2sqrt(2)))/2=$

$3-2sqrt(2)$

$x=\pm\sqrt(3-2sqrt(2))$

Per risolvere questi radicali si applic la regola dei radicali doppi:

$sqrt(a+sqrt(b))=sqrt((a+sqrt(a^2-b))/2)+sqrt((a-sqrt(a^2-b))/2)$

$sqrt(a-sqrt(b))=sqrt((a+sqrt(a^2-b))/2)-sqrt((a-sqrt(a^2-b))/2)$

Quindi:

$\pm\sqrt(3+2sqrt(2))=\pm\sqrt(3+sqrt(8))=$

$\pm\(sqrt((3+sqrt(9-8))/2)+sqrt((3-sqrt(9-8))/2))=$

$\pm\(sqrt((3+sqrt(1))/2)+sqrt((3-sqrt(1))/2))=$

$\pm\(sqrt((3+1)/2)+sqrt((3-1)/2))=$

$\pm\(sqrt(4/2)+sqrt(2/2))=$

$\pm\(sqrt(2)+sqrt(1))=$

$\pm\(sqrt(2)+1)$

$\pm\sqrt(3-2sqrt(2))=\pm\sqrt(3-sqrt(8))=$

$\pm\(sqrt((3+sqrt(9-8))/2)-sqrt((3-sqrt(9-8))/2))=$

$\pm\(sqrt((3+sqrt(1))/2)-sqrt((3-sqrt(1))/2))=$

$\pm\(sqrt((3+1)/2)-sqrt((3-1)/2))=$

$\pm\(sqrt(4/2)-sqrt(2/2))=$

$\pm\(sqrt(2)-sqrt(1))=$

$\pm\(sqrt(2)-1)$

$(x^2+1/x^2)=2$

$x^4+1=2x^2$

$x^4-2x^2+1=0$

$x^2=(2\pm\sqrt(4-4))/2=$

$(2\pm\0)/2=1$

$x=\pm\sqrt(1)=\pm\1$

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