Matematicamente

Stabilire se il seguente insieme è limitato superiormente, inferiormente. Determinare (se esistono) l'estremo superiore, l'estremo inferiore, il massimo e il minimo assoluto.

$\{x \in \mathbb{R}: \sqrt{x^2 + x - 6}  >1\}$

$x^2 + x - 6  \ge 0$ (1)

Le soluzioni dell'equazione associata sono

$x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} = \frac{-1 \pm 5}{2}$

$x_1 = -3 \quad x_2 = 2$

pertanto la (1) è soddisfatta per

$x \le -3 \quad \vee \quad x \ge 2$ (3)

La diseuquazione

$\sqrt{x^2 + x - 6} \ge 1$

è soddisfatta se vale (3) e se

$x^2 + x - 6 \ge 1$ (4)

Le soluzioni dell'equazione associata sono

$x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1+28}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{29}}{2}$

pertanto la (4) è soddisfatta per

$x < \frac{-1 - \sqrt{29}}{2} \quad \vee \quad x > \frac{-1 + \sqrt{29}}{2}$

quindi, tenendo conto anche di (3), l'insiemee iniziale si può riscrivere come

$\{x \in \mathbb{R}: x < \frac{-1 - \sqrt{29}}{2} \quad \vee \quad x > \frac{-1 + \sqrt{29}}{2}\} = ]-\infty, \frac{-1 - \sqrt{29}}{2}[ \quad \cup \quad ]\frac{-1 + \sqrt{29}}{2}, +\infty[$

Pertanto l'insieme è illimitato sia superiormente che inferiormente. Non ammettené minimo assoluto né massimo assoluto, l'estremo inferiore e superiore coincidono rispettivamente con $-\infty$ e $+\infty$.

FINE

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