Matematicamente

Sia $D \subset \mathbb{R}^2$ il dominio di definizione della funzione

$f(x,y) = \sqrt{x^2 - 4} \cdot \log(36 - 4x^2 - 9y^2)$

Disegnarlo, determinare la frontiera e stabilire se $D$ è aperto, chiuso, limitato, compatto, e da quante componenti connesse è composto.

$\{(x^2 - 4 \ge 0),(36 - 4x^2 - 9y^2 > 0):} = \{(x \le -2 \quad \vee \quad x \ge 2),(\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} < 1):}$

Quindi $D = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2: x^2 - 4 \ge 0, \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} < 1\}$

La frontiera dell'insieme è

$\partial D = \{(-2,y)  \in \mathbb{R}^2: - \sqrt{\frac{28}{9}} \le y \le \sqrt{\frac{28}{9}}\} \cup \{(2,y) \in \mathbb{R}^2: - \sqrt{\frac{28}{9}} \le y \le \sqrt{\frac{28}{9}}\} \cup \{(x,y) \in \mathbb{R}^2: \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1, x \le -2\} \cup \{(x,y) \in \mathbb{R}^2: \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1, x \ge 2\}$

Dato che $\partial D \cap D \ne \emptyset$, e che la frontiera di $D$ non è interamente contenuta in $D$, l'insieme non è aperto né chiuso.

Il dominio $D$ è un insieme limitato,  esiste infatti un intorno sferico aperto dell'origine (ad esempio di raggio $10$) che lo contenga propriamente.

Infine $D$ non è connesso per archi, ma possiede due componenti connesse.

FINE

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