Matematicamente

Stabilire l'ordine di infinitesimo, per $x \to 0^{+}$, delle seguente funzione:

$f(x) = ((1 - \sin(\frac{x^2}{4}))^{2} - \cos(x)) \sin(x)$

$\sin(x) = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3) \quad \quad \cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + o(x^4)$

Pertanto

$\sin(\frac{x^2}{4}) = \frac{x^2}{4} - \frac{1}{6} (\frac{x^2}{4})^3 + o(x^6) = \frac{x^2}{4} - \frac{1}{6} \cdot \frac{x^6}{64} + o(x^6) = \frac{x^2}{4} - \frac{x^6}{384} + o(x^6)$

Di conseguenza la funzione $f(\cdot)$ diventa

$f(x) = ((1 - \frac{x^2}{4} + \frac{x^6}{384} + o(x^6))^2 - 1 + \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{24}) (x + o(x))$

Sviluppando il quadrato fino al grado $4$, e tralasciando i termini di grado superiore, si ottiene

$(1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{16} - 1 + \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{24} + o(x^4)) (x + o(x)) = (\frac{x^4}{48} + o(x^4)) (x + o(x)) = \frac{x^5}{48} + o(x^5)$

Pertanto, per $x \to 0$, la funzione $f(x)$ è un infinitesimo di ordine $5$.

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